Examen VWO
2008
1 tijdvak 1
woensdag 28 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B1
Dit examen bestaat uit 19 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
800025-1-018o
, Landing
In deze opgave bekijken we een eenvoudig wiskundig model van de baan van
een vliegtuig bij de landing.
Een vliegtuig vliegt op een hoogte van 8 km. Op een afstand van 100 km van het
vliegveld (horizontaal gemeten) wordt het landingsproces ingezet.
We tekenen de baan van het vliegtuig in een assenstelsel: x is de afstand
(in km, horizontaal gemeten) vanaf het punt waar het landingsproces wordt
ingezet en y is de hoogte (in km).
De piloot begint het landingsproces in het punt (0, 8) en het vliegtuig komt in het
punt (100, 0) op de grond. Zie figuur 1.
figuur 1
y
8
O 100 x
De baan die het vliegtuig tijdens het landingsproces beschrijft, wordt in het
assenstelsel bij benadering gegeven door: y = 8 − 2, 4 ⋅10−3 ⋅ x 2 + 1, 6 ⋅10−5 ⋅ x3
4p 1 Toon langs algebraïsche weg aan dat volgens bovenstaande formule het
vliegtuig zowel in het punt (0, 8) als in het punt (100, 0) een horizontale
bewegingsrichting heeft.
De snelheid in horizontale richting is tijdens het gehele landingsproces
500 km/u.
Er geldt dus: x = 500t , waarbij t het aantal uren na het inzetten van de landing is
en 0 ≤ t ≤ 0, 2 .
Voor de hoogte y geldt: y = 8 − 600 ⋅ t 2 + 2000 ⋅ t 3 .
3p 2 Toon dit aan.
Om veiligheidsredenen mag de absolute waarde van de verticale versnelling
y''(t ) tijdens het landingsproces niet groter zijn dan 1200 km/u 2.
4p 3 Onderzoek of aan deze eis voldaan is.
800025-1-018o 2 lees verder ►►►
, Schijn bedriegt
In een speelhal kun je het volgende spel spelen. In een vaas zitten 7 ballen:
4 witte en 3 zwarte. Een speler doet willekeurig een greep van drie ballen uit de
vaas. Voor elke witte bal in zijn greep ontvangt hij 1 euro (en voor een zwarte
bal ontvangt hij niets). De inzet die de speler aan de speelhal moet betalen is
€ 1,75 per spel.
Per keer spelen ontvangt een speler dus 0, 1, 2 of 3 euro. De kansen op deze
1 , 12 , 18 en 4 .
vier mogelijke bedragen zijn achtereenvolgens: 35 35 35 35
4p 4 Toon aan dat de kans op 2 euro inderdaad 18
35
is.
Iemand besluit het spel zestien keer te spelen. Hij maakt in een spel winst als hij
meer dan € 1,75 ontvangt. De kans dat hij ten minste tien keer winst zal maken
is groter dan 12 .
4p 5 Bereken de kans dat hij ten minste tien keer winst zal maken.
Het lijkt dus wel gunstig voor een speler om het spel te spelen. Maar, schijn
bedriegt!
4p 6 Toon aan dat de speelhal op de lange termijn toch winst zal maken met dit spel.
800025-1-018o 3 lees verder ►►►
, Een achtkromme
In figuur 2 is in een assenstelsel de kromme k getekend, gegeven door
x(t ) = 2 cos t
met 0 ≤ t ≤ 2π
y (t ) = sin 2t
figuur 2
y
1
k
-2 -1 O 1 2x
-1
Deze kromme is symmetrisch ten opzichte van de x-as en de y-as.
De kromme k heeft vier punten waarin de raaklijn horizontaal loopt. Deze vier
punten zijn de hoekpunten van een rechthoek.
5p 7 Bereken in één decimaal nauwkeurig de oppervlakte van deze rechthoek.
Er zijn twee punten met positieve x-coördinaat op k waarvan de y-coördinaat
gelijk is aan 12 . Zie figuur 3.
figuur 3
y
1
k
1 ?
2
-2 -1 O 1 2x
-1
4p 8 Bereken in één decimaal nauwkeurig hoe ver die twee punten van elkaar liggen.
5p 9 Bereken in één decimaal nauwkeurig de lengte van de kromme k.
800025-1-018o 4 lees verder ►►►
2008
1 tijdvak 1
woensdag 28 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B1
Dit examen bestaat uit 19 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
800025-1-018o
, Landing
In deze opgave bekijken we een eenvoudig wiskundig model van de baan van
een vliegtuig bij de landing.
Een vliegtuig vliegt op een hoogte van 8 km. Op een afstand van 100 km van het
vliegveld (horizontaal gemeten) wordt het landingsproces ingezet.
We tekenen de baan van het vliegtuig in een assenstelsel: x is de afstand
(in km, horizontaal gemeten) vanaf het punt waar het landingsproces wordt
ingezet en y is de hoogte (in km).
De piloot begint het landingsproces in het punt (0, 8) en het vliegtuig komt in het
punt (100, 0) op de grond. Zie figuur 1.
figuur 1
y
8
O 100 x
De baan die het vliegtuig tijdens het landingsproces beschrijft, wordt in het
assenstelsel bij benadering gegeven door: y = 8 − 2, 4 ⋅10−3 ⋅ x 2 + 1, 6 ⋅10−5 ⋅ x3
4p 1 Toon langs algebraïsche weg aan dat volgens bovenstaande formule het
vliegtuig zowel in het punt (0, 8) als in het punt (100, 0) een horizontale
bewegingsrichting heeft.
De snelheid in horizontale richting is tijdens het gehele landingsproces
500 km/u.
Er geldt dus: x = 500t , waarbij t het aantal uren na het inzetten van de landing is
en 0 ≤ t ≤ 0, 2 .
Voor de hoogte y geldt: y = 8 − 600 ⋅ t 2 + 2000 ⋅ t 3 .
3p 2 Toon dit aan.
Om veiligheidsredenen mag de absolute waarde van de verticale versnelling
y''(t ) tijdens het landingsproces niet groter zijn dan 1200 km/u 2.
4p 3 Onderzoek of aan deze eis voldaan is.
800025-1-018o 2 lees verder ►►►
, Schijn bedriegt
In een speelhal kun je het volgende spel spelen. In een vaas zitten 7 ballen:
4 witte en 3 zwarte. Een speler doet willekeurig een greep van drie ballen uit de
vaas. Voor elke witte bal in zijn greep ontvangt hij 1 euro (en voor een zwarte
bal ontvangt hij niets). De inzet die de speler aan de speelhal moet betalen is
€ 1,75 per spel.
Per keer spelen ontvangt een speler dus 0, 1, 2 of 3 euro. De kansen op deze
1 , 12 , 18 en 4 .
vier mogelijke bedragen zijn achtereenvolgens: 35 35 35 35
4p 4 Toon aan dat de kans op 2 euro inderdaad 18
35
is.
Iemand besluit het spel zestien keer te spelen. Hij maakt in een spel winst als hij
meer dan € 1,75 ontvangt. De kans dat hij ten minste tien keer winst zal maken
is groter dan 12 .
4p 5 Bereken de kans dat hij ten minste tien keer winst zal maken.
Het lijkt dus wel gunstig voor een speler om het spel te spelen. Maar, schijn
bedriegt!
4p 6 Toon aan dat de speelhal op de lange termijn toch winst zal maken met dit spel.
800025-1-018o 3 lees verder ►►►
, Een achtkromme
In figuur 2 is in een assenstelsel de kromme k getekend, gegeven door
x(t ) = 2 cos t
met 0 ≤ t ≤ 2π
y (t ) = sin 2t
figuur 2
y
1
k
-2 -1 O 1 2x
-1
Deze kromme is symmetrisch ten opzichte van de x-as en de y-as.
De kromme k heeft vier punten waarin de raaklijn horizontaal loopt. Deze vier
punten zijn de hoekpunten van een rechthoek.
5p 7 Bereken in één decimaal nauwkeurig de oppervlakte van deze rechthoek.
Er zijn twee punten met positieve x-coördinaat op k waarvan de y-coördinaat
gelijk is aan 12 . Zie figuur 3.
figuur 3
y
1
k
1 ?
2
-2 -1 O 1 2x
-1
4p 8 Bereken in één decimaal nauwkeurig hoe ver die twee punten van elkaar liggen.
5p 9 Bereken in één decimaal nauwkeurig de lengte van de kromme k.
800025-1-018o 4 lees verder ►►►
