Examen VWO
2012
tijdvak 1
woensdag 16 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 17 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1025-a-12-1-o
, Formules
Vlakke meetkunde
Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
gebruikt zonder nadere toelichting.
Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand
punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.
Meetkundige plaatsen:
middelloodlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool.
Driehoeken:
hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ,
ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlijnen driehoek, bissectrices
driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek,
zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek,
rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve
gelijkzijdige driehoek.
Vierhoeken:
hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.
Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek,
omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn,
koordenvierhoek.
Goniometrie
t + u ) sin t cos u + cos t sin u
sin(= 2sin t +2u cos t −2u
sin t + sin u =
t − u ) sin t cos u − cos t sin u
sin(= 2sin t −2u cos t +2u
sin t − sin u =
t + u ) cos t cos u − sin t sin u
cos(= 2 cos t +2u cos t −2u
cos t + cos u =
t − u ) cos t cos u + sin t sin u
cos(= −2sin t +2u sin t −2u
cos t − cos u =
VW-1025-a-12-1-o 2 lees verder ►►►
, Onafhankelijk van a
Voor elke positieve waarde van a is een functie f a gegeven door
f a ( x) =(1 − ax) ⋅ e − ax en een functie Fa gegeven door Fa ( x)= x ⋅ e − ax .
De functie Fa is een primitieve functie van f a .
3p 1 Toon dit aan.
De grafiek van f a snijdt de x-as in punt A ( 1a , 0) en de y-as in punt B (0, 1) .
Zie onderstaande figuur.
figuur
De grafiek van f a verdeelt driehoek OAB in twee delen.
5p 2 Toon aan dat de verhouding van de oppervlakten van deze twee delen
onafhankelijk is van a.
VW-1025-a-12-1-o 3 lees verder ►►►
, Het standaard proefglas
Bij het proeven van wijn kan de vorm van het glas ongewenste effecten geven.
Zo zal de wijn er in een breed glas donkerder uitzien dan in een smal glas. De
breedte van het glas heeft ook invloed op de geur van de wijn.
Daarom is voor het proeven van wijn een standaard proefglas ontwikkeld: het
ISO Standard Wine Tasting Glass.
De eisen die aan dit standaard proefglas worden gesteld, zijn vastgelegd in een
ISO-rapport. Aan de hand van de gegevens in dit rapport heeft een technisch
tekenaar een model van het standaard proefglas getekend. Een zijaanzicht van
dit model zie je in figuur 1.
figuur 1
Om dit model te maken heeft de tekenaar drie wiskundige functies gebruikt. De
bijbehorende grafieken beschrijven de buitenkant van het glas. Door deze
grafieken om de x-as te wentelen, ontstaat een model van het standaard
proefglas. In figuur 2 zijn de drie grafieken en hun spiegelbeelden in de x-as
getekend.
figuur 2
Kromme AB is de grafiek van de functie f met f ( x) =4,5 + 28, 0 ⋅ e −0,452 x op het
domein [0,0; 55,3]; hierbij zijn f (x) en x in mm. Door kromme AB te wentelen om
de x-as ontstaan de buitenkant van de voet en de steel van het wijnglas. De voet
en de steel zijn massief.
4p 3 Bereken het volume van de voet en de steel samen. Rond je antwoord af op een
geheel aantal cm3.
VW-1025-a-12-1-o 4 lees verder ►►►
2012
tijdvak 1
woensdag 16 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 17 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1025-a-12-1-o
, Formules
Vlakke meetkunde
Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
gebruikt zonder nadere toelichting.
Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand
punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.
Meetkundige plaatsen:
middelloodlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool.
Driehoeken:
hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ,
ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlijnen driehoek, bissectrices
driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek,
zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek,
rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve
gelijkzijdige driehoek.
Vierhoeken:
hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.
Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek,
omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn,
koordenvierhoek.
Goniometrie
t + u ) sin t cos u + cos t sin u
sin(= 2sin t +2u cos t −2u
sin t + sin u =
t − u ) sin t cos u − cos t sin u
sin(= 2sin t −2u cos t +2u
sin t − sin u =
t + u ) cos t cos u − sin t sin u
cos(= 2 cos t +2u cos t −2u
cos t + cos u =
t − u ) cos t cos u + sin t sin u
cos(= −2sin t +2u sin t −2u
cos t − cos u =
VW-1025-a-12-1-o 2 lees verder ►►►
, Onafhankelijk van a
Voor elke positieve waarde van a is een functie f a gegeven door
f a ( x) =(1 − ax) ⋅ e − ax en een functie Fa gegeven door Fa ( x)= x ⋅ e − ax .
De functie Fa is een primitieve functie van f a .
3p 1 Toon dit aan.
De grafiek van f a snijdt de x-as in punt A ( 1a , 0) en de y-as in punt B (0, 1) .
Zie onderstaande figuur.
figuur
De grafiek van f a verdeelt driehoek OAB in twee delen.
5p 2 Toon aan dat de verhouding van de oppervlakten van deze twee delen
onafhankelijk is van a.
VW-1025-a-12-1-o 3 lees verder ►►►
, Het standaard proefglas
Bij het proeven van wijn kan de vorm van het glas ongewenste effecten geven.
Zo zal de wijn er in een breed glas donkerder uitzien dan in een smal glas. De
breedte van het glas heeft ook invloed op de geur van de wijn.
Daarom is voor het proeven van wijn een standaard proefglas ontwikkeld: het
ISO Standard Wine Tasting Glass.
De eisen die aan dit standaard proefglas worden gesteld, zijn vastgelegd in een
ISO-rapport. Aan de hand van de gegevens in dit rapport heeft een technisch
tekenaar een model van het standaard proefglas getekend. Een zijaanzicht van
dit model zie je in figuur 1.
figuur 1
Om dit model te maken heeft de tekenaar drie wiskundige functies gebruikt. De
bijbehorende grafieken beschrijven de buitenkant van het glas. Door deze
grafieken om de x-as te wentelen, ontstaat een model van het standaard
proefglas. In figuur 2 zijn de drie grafieken en hun spiegelbeelden in de x-as
getekend.
figuur 2
Kromme AB is de grafiek van de functie f met f ( x) =4,5 + 28, 0 ⋅ e −0,452 x op het
domein [0,0; 55,3]; hierbij zijn f (x) en x in mm. Door kromme AB te wentelen om
de x-as ontstaan de buitenkant van de voet en de steel van het wijnglas. De voet
en de steel zijn massief.
4p 3 Bereken het volume van de voet en de steel samen. Rond je antwoord af op een
geheel aantal cm3.
VW-1025-a-12-1-o 4 lees verder ►►►
