Examen VWO
2011
tijdvak 1
woensdag 18 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Achter het correctievoorschrift is een aanvulling opgenomen.
Dit examen bestaat uit 18 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1025-a-11-1-o
, Formules
Vlakke meetkunde
Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
gebruikt zonder nadere toelichting.
Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand
punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.
Meetkundige plaatsen:
middelloodlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool.
Driehoeken:
hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ,
ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlijnen driehoek, bissectrices
driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek,
zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek,
rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve
gelijkzijdige driehoek.
Vierhoeken:
hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.
Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek,
omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn,
koordenvierhoek.
Goniometrie
sin(t + u ) = sin t cos u + cos t sin u sin t + sin u = 2sin t +2u cos t −2u
sin(t − u ) = sin t cos u − cos t sin u sin t − sin u = 2sin t −2u cos t +2u
cos(t + u ) = cos t cos u − sin t sin u cos t + cos u = 2 cos t +2u cos t −2u
cos(t − u ) = cos t cos u + sin t sin u cos t − cos u = −2sin t +2u sin t −2u
VW-1025-a-11-1-o 2 lees verder ►►►
, Tussen twee grafieken
De functie f is gegeven door f ( x) = 1 − x .
In figuur 1 zijn op het interval figuur 1
[0, 1] de grafiek van f en de lijn
y = x getekend. y
De grafiek van f en de lijn y = x 1
snijden elkaar in het punt T. f y=x
Op de lijn y = x ligt tussen
O(0, 0) en T een punt P(p, p). T
De lijn y = p snijdt de grafiek
van f in het punt Q.
p P Q
O p 1 x
De rechthoek waarvan PQ een zijde is en waarvan de tegenoverliggende
zijde op de x-as ligt, is in figuur 1 voor een waarde van p grijs gemaakt.
De x-coördinaat van Q is 1 − p 2 .
3p 1 Toon dit aan.
Er is een waarde van p waarvoor de oppervlakte van de rechthoek
maximaal is.
6p 2 Bereken exact deze waarde van p.
Het gebied V wordt begrensd figuur 2
door de grafiek van f, de y-as,
de lijn y = x en de lijn x = 12 . y
1
Zie figuur 2. f y=x
6p 3 Bereken exact de inhoud van
het omwentelingslichaam dat
ontstaat wanneer V om de x-as T
V
wordt gewenteld.
O 1 x
x = 12
VW-1025-a-11-1-o 3 lees verder ►►►
, Raakcirkels aan een lijn
Gegeven zijn twee evenwijdige lijnen k en m en een punt F, niet op m, zo dat de
afstand van F tot k gelijk is aan de afstand van k tot m.
We bekijken de cirkels die door F gaan en aan k raken.
In figuur 1 zijn enkele van deze raakcirkels getekend. In elke raakcirkel is de
middellijn vanuit F getekend. Elke middellijn heeft behalve F nog een tweede
eindpunt op de raakcirkel.
De tekening doet vermoeden dat deze eindpunten op een parabool met
brandpunt F en richtlijn m liggen.
figuur 1
F
k
m
VW-1025-a-11-1-o 4 lees verder ►►►
2011
tijdvak 1
woensdag 18 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Achter het correctievoorschrift is een aanvulling opgenomen.
Dit examen bestaat uit 18 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1025-a-11-1-o
, Formules
Vlakke meetkunde
Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
gebruikt zonder nadere toelichting.
Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand
punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.
Meetkundige plaatsen:
middelloodlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool.
Driehoeken:
hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ,
ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlijnen driehoek, bissectrices
driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek,
zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek,
rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve
gelijkzijdige driehoek.
Vierhoeken:
hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.
Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek,
omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn,
koordenvierhoek.
Goniometrie
sin(t + u ) = sin t cos u + cos t sin u sin t + sin u = 2sin t +2u cos t −2u
sin(t − u ) = sin t cos u − cos t sin u sin t − sin u = 2sin t −2u cos t +2u
cos(t + u ) = cos t cos u − sin t sin u cos t + cos u = 2 cos t +2u cos t −2u
cos(t − u ) = cos t cos u + sin t sin u cos t − cos u = −2sin t +2u sin t −2u
VW-1025-a-11-1-o 2 lees verder ►►►
, Tussen twee grafieken
De functie f is gegeven door f ( x) = 1 − x .
In figuur 1 zijn op het interval figuur 1
[0, 1] de grafiek van f en de lijn
y = x getekend. y
De grafiek van f en de lijn y = x 1
snijden elkaar in het punt T. f y=x
Op de lijn y = x ligt tussen
O(0, 0) en T een punt P(p, p). T
De lijn y = p snijdt de grafiek
van f in het punt Q.
p P Q
O p 1 x
De rechthoek waarvan PQ een zijde is en waarvan de tegenoverliggende
zijde op de x-as ligt, is in figuur 1 voor een waarde van p grijs gemaakt.
De x-coördinaat van Q is 1 − p 2 .
3p 1 Toon dit aan.
Er is een waarde van p waarvoor de oppervlakte van de rechthoek
maximaal is.
6p 2 Bereken exact deze waarde van p.
Het gebied V wordt begrensd figuur 2
door de grafiek van f, de y-as,
de lijn y = x en de lijn x = 12 . y
1
Zie figuur 2. f y=x
6p 3 Bereken exact de inhoud van
het omwentelingslichaam dat
ontstaat wanneer V om de x-as T
V
wordt gewenteld.
O 1 x
x = 12
VW-1025-a-11-1-o 3 lees verder ►►►
, Raakcirkels aan een lijn
Gegeven zijn twee evenwijdige lijnen k en m en een punt F, niet op m, zo dat de
afstand van F tot k gelijk is aan de afstand van k tot m.
We bekijken de cirkels die door F gaan en aan k raken.
In figuur 1 zijn enkele van deze raakcirkels getekend. In elke raakcirkel is de
middellijn vanuit F getekend. Elke middellijn heeft behalve F nog een tweede
eindpunt op de raakcirkel.
De tekening doet vermoeden dat deze eindpunten op een parabool met
brandpunt F en richtlijn m liggen.
figuur 1
F
k
m
VW-1025-a-11-1-o 4 lees verder ►►►
