Examen VWO
2010
tijdvak 1
dinsdag 25 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 18 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1025-a-10-1-o
, Formules
Vlakke meetkunde
Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
gebruikt zonder nadere toelichting.
Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand
punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.
Meetkundige plaatsen:
middelloodlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool.
Driehoeken:
hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ,
ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlijnen driehoek, bissectrices
driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek,
zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek,
rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve
gelijkzijdige driehoek.
Vierhoeken:
hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.
Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek,
omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn,
koordenvierhoek.
Goniometrie
sin(t + u ) = sin t cos u + cos t sin u sin t + sin u = 2sin t +2u cos t −2u
sin(t − u ) = sin t cos u − cos t sin u sin t − sin u = 2sin t −2u cos t +2u
cos(t + u ) = cos t cos u − sin t sin u cos t + cos u = 2 cos t +2u cos t −2u
cos(t − u ) = cos t cos u + sin t sin u cos t − cos u = −2sin t +2u sin t −2u
VW-1025-a-10-1-o 2 lees verder ►►►
, Gelijke oppervlakten
De parabool met vergelijking y = 4 x − x 2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De
lijn y = ax (met 0 ≤ a < 4 ) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt A. Zie
figuur 1.
figuur 1
y
4
3
A
2
1
-1 O 1 2 3 4 x
-1
A heeft de coördinaten ( 4 − a , 4a − a 2 ).
4p 1 Toon dit aan.
Het deel van V boven de lijn OA heeft oppervlakte 1
6 (4 − a )3 .
6p 2 Toon dit aan.
5p 3 Bereken exact voor welke waarde van a de lijn y = ax het gebied V verdeelt in
twee delen met gelijke oppervlakte.
VW-1025-a-10-1-o 3 lees verder ►►►
, Onderzetter
Een bepaalde onderzetter bestaat uit staven die onderling kunnen scharnieren.
Deze onderzetter heeft 19 gelijke ruiten. Zie de foto.
foto
In een wiskundig model van deze onderzetter worden de breedte en de dikte
van de staven verwaarloosd.
Het meest linkse scharnierpunt van het model noemen we P, het scharnierpunt
linksboven noemen we Q en het midden van de middelste ruit noemen we O. De
grootte van de binnenhoek bij P in radialen noemen we α . Zie figuur 1.
figuur 1
Q
P O b
l
We kiezen lengte 1 voor de zijde van een ruit.
De lengte l en de breedte b van het model zijn functies van α , waarbij 0 ≤ α ≤ π .
( ) ( )
Er geldt: l = 10 cos 12 α en b = 6sin 12 α .
3p 4 Toon aan dat de formules voor l en b juist zijn.
4p 5 Bereken exact de waarde van b als l = 8 .
VW-1025-a-10-1-o 4 lees verder ►►►
2010
tijdvak 1
dinsdag 25 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 18 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1025-a-10-1-o
, Formules
Vlakke meetkunde
Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden
gebruikt zonder nadere toelichting.
Hoeken, lijnen en afstanden:
gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande hoeken, F-hoeken, Z-hoeken, afstand
punt tot lijn, driehoeksongelijkheid.
Meetkundige plaatsen:
middelloodlijn, bissectrice, bissectricepaar, middenparallel, cirkel, parabool.
Driehoeken:
hoekensom driehoek, buitenhoek driehoek, congruentie: HZH, ZHH, ZHZ, ZZZ,
ZZR; gelijkvormigheid: hh, zhz, zzz, zzr; middelloodlijnen driehoek, bissectrices
driehoek, hoogtelijn driehoek, hoogtelijnen driehoek, zwaartelijn driehoek,
zwaartelijnen driehoek, gelijkbenige driehoek, gelijkzijdige driehoek,
rechthoekige driehoek, Pythagoras, gelijkbenige rechthoekige driehoek, halve
gelijkzijdige driehoek.
Vierhoeken:
hoekensom vierhoek, parallellogram, ruit, rechthoek, vierkant.
Cirkel, koorden, bogen, hoeken, raaklijn, vierhoeken:
koorde, boog en koorde, loodlijn op koorde, middellijn, Thales, middelpuntshoek,
omtrekshoek, constante hoek, raaklijn, hoek tussen koorde en raaklijn,
koordenvierhoek.
Goniometrie
sin(t + u ) = sin t cos u + cos t sin u sin t + sin u = 2sin t +2u cos t −2u
sin(t − u ) = sin t cos u − cos t sin u sin t − sin u = 2sin t −2u cos t +2u
cos(t + u ) = cos t cos u − sin t sin u cos t + cos u = 2 cos t +2u cos t −2u
cos(t − u ) = cos t cos u + sin t sin u cos t − cos u = −2sin t +2u sin t −2u
VW-1025-a-10-1-o 2 lees verder ►►►
, Gelijke oppervlakten
De parabool met vergelijking y = 4 x − x 2 en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De
lijn y = ax (met 0 ≤ a < 4 ) snijdt de parabool in de oorsprong O en in punt A. Zie
figuur 1.
figuur 1
y
4
3
A
2
1
-1 O 1 2 3 4 x
-1
A heeft de coördinaten ( 4 − a , 4a − a 2 ).
4p 1 Toon dit aan.
Het deel van V boven de lijn OA heeft oppervlakte 1
6 (4 − a )3 .
6p 2 Toon dit aan.
5p 3 Bereken exact voor welke waarde van a de lijn y = ax het gebied V verdeelt in
twee delen met gelijke oppervlakte.
VW-1025-a-10-1-o 3 lees verder ►►►
, Onderzetter
Een bepaalde onderzetter bestaat uit staven die onderling kunnen scharnieren.
Deze onderzetter heeft 19 gelijke ruiten. Zie de foto.
foto
In een wiskundig model van deze onderzetter worden de breedte en de dikte
van de staven verwaarloosd.
Het meest linkse scharnierpunt van het model noemen we P, het scharnierpunt
linksboven noemen we Q en het midden van de middelste ruit noemen we O. De
grootte van de binnenhoek bij P in radialen noemen we α . Zie figuur 1.
figuur 1
Q
P O b
l
We kiezen lengte 1 voor de zijde van een ruit.
De lengte l en de breedte b van het model zijn functies van α , waarbij 0 ≤ α ≤ π .
( ) ( )
Er geldt: l = 10 cos 12 α en b = 6sin 12 α .
3p 4 Toon aan dat de formules voor l en b juist zijn.
4p 5 Bereken exact de waarde van b als l = 8 .
VW-1025-a-10-1-o 4 lees verder ►►►
