Examen VWO
2007
tijdvak 1
woensdag 16 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B1
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 20 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 82 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
700025-1-018o
, Podiumverlichting
Een podium is 6 meter diep. Midden boven het podium hangt een balk met
tl-buizen. De verlichtingssterkte op het podium is het kleinst aan de rand,
bijvoorbeeld in punt P. De afstand van P tot de balk is r meter, de hoogte van de
balk boven het podium is x meter en de hoek die het kortste verbindingslijnstuk
van de balk en punt P met het podium maakt is α radialen. Zie figuur 1.
figuur 1
balk met
tl-buizen
x
r podium
3
3
P
De verlichtingssterkte op het podium in punt P noemen we V (in lux). V is
1
omgekeerd evenredig met r en evenredig met sin α . Dus V = c ⋅ ⋅ sin α , waarbij
r
de evenredigheidsconstante c afhangt van het lichtvermogen van de tl-buizen.
Voor deze balk met tl-buizen geldt: c = 650 (lux⋅m).
650 x
Er geldt: V = .
9 + x2
3p 1 Toon aan dat deze formule juist is.
De balk met tl-buizen kan omhoog gehesen worden: de hoogte kan variëren van
2,0 tot 5,0 meter.
De verlichtingssterkte op het podium in punt P moet minimaal 100 lux zijn.
5p 2 Bereken langs algebraïsche weg op welke hoogtes de balk mag hangen.
Er is een hoogte van de balk waarbij V maximaal is.
6p 3 Bereken deze hoogte langs algebraïsche weg.
700025-1-018o 2 lees verder ►►►
, Een familie parabolen
Voor n = 1, 2, 3, ... is gegeven de figuur 2
2 y
parabool pn : y = n(2 x − x ) . p4
4
In figuur 2 zijn de parabolen p1 ,
p2 , p3 en p4 getekend voor
3 p3
0 ≤ x ≤ 2.
4p 4 Bereken exact de oppervlakte van 2 p2
het gebied dat wordt ingesloten
door p2 en p3 .
p1
1
O 1 2 x
Voor n = 1, 2, 3, ... snijdt de figuur 3
parabool pn de lijn y = x behalve y
4
in O(0, 0) ook nog in een tweede
punt S n . In figuur 3 zijn S1 , S 2 , S3
en S 4 aangegeven. Hoe groter n 3
is, des te dichter ligt S n bij het y=x
punt S(2, 2).
2 S
5p 5 Onderzoek voor welke waarden S3 S
S2 4
van n de x-coördinaat van S n
S1
groter dan 1,99 is. 1
O 1 2 x
Voor n = 1, 2, 3, ... snijdt de raaklijn figuur 4
in O(0, 0) aan de parabool pn de y
lijn x = 1 in het punt Rn . Zie Rn
figuur 4. Verder is A het punt (1, 0)
en Tn de top van de parabool pn .
5p 6 Toon aan dat voor n = 1, 2, 3, …
Tn het midden is van lijnstuk ARn .
Tn
pn
A
O 1 2 x
700025-1-018o 3 lees verder ►►►
, Twee koplampen
De levensduur van een halogeenkoplamp van een auto is normaal verdeeld met
een gemiddelde van 2500 branduren en een standaardafwijking van 450 uur.
Neem aan dat de levensduur van de linker koplamp van een auto en de
levensduur van de rechter koplamp onafhankelijk van elkaar zijn.
3p 7 Bereken de kans dat zowel de linker als de rechter koplamp binnen
2100 branduren kapot gaat.
De levensduur van de rechter koplamp noemen we R en die van de linker
koplamp L.
Om R en L met elkaar te vergelijken, gebruiken we de toevalsvariabele V,
gedefinieerd door V = R − L . Als bijvoorbeeld V = −100 , dan brandt de linker
koplamp 100 uur langer dan de rechter koplamp.
V is ook normaal verdeeld, met gemiddelde 0 uur en standaardafwijking
450 2 uur.
4p 8 Bereken de kans dat het verschil in levensduur van de beide koplampen kleiner
is dan 20 uur.
Brievenweger
Hieronder zie je een foto van een brievenweger. Op het schaaltje staat een
voorwerp met een gewicht van 64 gram.
foto
In figuur 5 is schematisch een soortgelijke brievenweger weergegeven met een
voorwerp dat y gram weegt. Deze figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage.
De pijl waarbij je het gewicht afleest, ligt loodrecht onder het draaipunt D. De
ballast zorgt ervoor dat het verbindingsstuk DE verticaal staat als er niets op het
schaaltje ligt. De verbinding tussen de stukken ED en DC is vast.
700025-1-018o 4 lees verder ►►►
2007
tijdvak 1
woensdag 16 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B1
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 20 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 82 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
700025-1-018o
, Podiumverlichting
Een podium is 6 meter diep. Midden boven het podium hangt een balk met
tl-buizen. De verlichtingssterkte op het podium is het kleinst aan de rand,
bijvoorbeeld in punt P. De afstand van P tot de balk is r meter, de hoogte van de
balk boven het podium is x meter en de hoek die het kortste verbindingslijnstuk
van de balk en punt P met het podium maakt is α radialen. Zie figuur 1.
figuur 1
balk met
tl-buizen
x
r podium
3
3
P
De verlichtingssterkte op het podium in punt P noemen we V (in lux). V is
1
omgekeerd evenredig met r en evenredig met sin α . Dus V = c ⋅ ⋅ sin α , waarbij
r
de evenredigheidsconstante c afhangt van het lichtvermogen van de tl-buizen.
Voor deze balk met tl-buizen geldt: c = 650 (lux⋅m).
650 x
Er geldt: V = .
9 + x2
3p 1 Toon aan dat deze formule juist is.
De balk met tl-buizen kan omhoog gehesen worden: de hoogte kan variëren van
2,0 tot 5,0 meter.
De verlichtingssterkte op het podium in punt P moet minimaal 100 lux zijn.
5p 2 Bereken langs algebraïsche weg op welke hoogtes de balk mag hangen.
Er is een hoogte van de balk waarbij V maximaal is.
6p 3 Bereken deze hoogte langs algebraïsche weg.
700025-1-018o 2 lees verder ►►►
, Een familie parabolen
Voor n = 1, 2, 3, ... is gegeven de figuur 2
2 y
parabool pn : y = n(2 x − x ) . p4
4
In figuur 2 zijn de parabolen p1 ,
p2 , p3 en p4 getekend voor
3 p3
0 ≤ x ≤ 2.
4p 4 Bereken exact de oppervlakte van 2 p2
het gebied dat wordt ingesloten
door p2 en p3 .
p1
1
O 1 2 x
Voor n = 1, 2, 3, ... snijdt de figuur 3
parabool pn de lijn y = x behalve y
4
in O(0, 0) ook nog in een tweede
punt S n . In figuur 3 zijn S1 , S 2 , S3
en S 4 aangegeven. Hoe groter n 3
is, des te dichter ligt S n bij het y=x
punt S(2, 2).
2 S
5p 5 Onderzoek voor welke waarden S3 S
S2 4
van n de x-coördinaat van S n
S1
groter dan 1,99 is. 1
O 1 2 x
Voor n = 1, 2, 3, ... snijdt de raaklijn figuur 4
in O(0, 0) aan de parabool pn de y
lijn x = 1 in het punt Rn . Zie Rn
figuur 4. Verder is A het punt (1, 0)
en Tn de top van de parabool pn .
5p 6 Toon aan dat voor n = 1, 2, 3, …
Tn het midden is van lijnstuk ARn .
Tn
pn
A
O 1 2 x
700025-1-018o 3 lees verder ►►►
, Twee koplampen
De levensduur van een halogeenkoplamp van een auto is normaal verdeeld met
een gemiddelde van 2500 branduren en een standaardafwijking van 450 uur.
Neem aan dat de levensduur van de linker koplamp van een auto en de
levensduur van de rechter koplamp onafhankelijk van elkaar zijn.
3p 7 Bereken de kans dat zowel de linker als de rechter koplamp binnen
2100 branduren kapot gaat.
De levensduur van de rechter koplamp noemen we R en die van de linker
koplamp L.
Om R en L met elkaar te vergelijken, gebruiken we de toevalsvariabele V,
gedefinieerd door V = R − L . Als bijvoorbeeld V = −100 , dan brandt de linker
koplamp 100 uur langer dan de rechter koplamp.
V is ook normaal verdeeld, met gemiddelde 0 uur en standaardafwijking
450 2 uur.
4p 8 Bereken de kans dat het verschil in levensduur van de beide koplampen kleiner
is dan 20 uur.
Brievenweger
Hieronder zie je een foto van een brievenweger. Op het schaaltje staat een
voorwerp met een gewicht van 64 gram.
foto
In figuur 5 is schematisch een soortgelijke brievenweger weergegeven met een
voorwerp dat y gram weegt. Deze figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage.
De pijl waarbij je het gewicht afleest, ligt loodrecht onder het draaipunt D. De
ballast zorgt ervoor dat het verbindingsstuk DE verticaal staat als er niets op het
schaaltje ligt. De verbinding tussen de stukken ED en DC is vast.
700025-1-018o 4 lees verder ►►►
