06
Examen VWO
20
wiskunde B1
Voorbereidend
Wetenschappelijk
Onderwijs
Tijdvak 1
Dinsdag 30 mei
13.30 – 16.30 uur
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
behalen; het examen bestaat uit 21 vragen. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel gevraagd en je geeft meer dan twee redenen,
punten met een goed antwoord behaald kunnen dan worden alleen de eerste twee in de
worden. beoordeling meegeteld.
600025-1-18o Begin
, Sauna
Om 15.00 uur wordt het verwarmingselement van een sauna aangezet. Vanaf dat moment
wordt de sauna opgewarmd. Dan geldt: S (t ) = 200 − 180 ⋅ e−0,29t .
Hierin is S de temperatuur in de sauna in graden Celsius en t de tijd in uren vanaf 15.00 uur.
De thermostaat van de sauna is ingesteld op 100 ° C. Zodra die temperatuur bereikt is, wordt
het opwarmen gestopt. Vanaf dat moment wordt de temperatuur constant gehouden.
In figuur 1 staat de grafiek van S .
figuur 1
100
S
80
60
40
20
0
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
t
4p 1 Bereken hoe laat het opwarmen wordt gestopt. Geef het tijdstip in minuten nauwkeurig.
4p 2 Bereken met behulp van differentiëren de snelheid waarmee de temperatuur in de sauna
toeneemt om 16.00 uur. Geef je antwoord in tienden van graden Celsius per minuut.
Om bij een ingestelde temperatuur van de thermostaat uit te rekenen hoe lang de sauna
nodig heeft om deze temperatuur te bereiken, kun je een formule gebruiken die t uitdrukt
in S .
4p 3 Druk t uit in S.
Bosbouwprojecten
Wereldwijd bestaan bosbouwprojecten waarin geïnvesteerd kan worden. Er wordt elk jaar
teakhout aangeplant dat na 20 jaar gekapt wordt. Om beleggers te interesseren wordt van
verschillende projecten informatie gepubliceerd over de gemiddelde opbrengst in kubieke
meter per hectare.
Bij European Trees is de gemiddelde opbrengst normaal verdeeld met verwachtingswaarde
800 m3 /ha en standaardafwijking 33 m3 /ha.
4p 4 Bereken de kans dat bij European Trees de gemiddelde opbrengst meer dan 10% afwijkt van
de verwachtingswaarde van 800 m3 /ha.
Bij Earthbound is de gemiddelde opbrengst ook normaal verdeeld. De verwachtingswaarde van
de gemiddelde opbrengst is 950 m3 /ha. De kans op een gemiddelde opbrengst van minder dan
98% van de verwachtingswaarde is slechts 0,01.
4p 5 Bereken de standaardafwijking van de gemiddelde opbrengst voor Earthbound.
600025-1-18o 2 Lees verder
, Bedekken
Een geodriehoek is een gelijkbenige rechthoekige driehoek. We plaatsen twee
geodriehoeken met een lange zijde van 16 cm in een rechthoekig assenstelsel met eenheid
1 cm op de manier die in figuur 2 (verkleind) is getekend.
De top A van de linker driehoek heeft de coördinaten (0, 8).
De top B van de rechter driehoek heeft de coördinaten (8, 0).
figuur 2
y
A
8
B
O 8 x
De linker driehoek begint op tijdstip t = 0 naar rechts te schuiven over de rechter driehoek
met een snelheid van 1 cm/s. Daarbij wordt een gedeelte van de rechter driehoek door de
linker driehoek bedekt. De tijd t wordt gemeten in seconden.
In figuur 3 is de situatie voor een zeker tijdstip t getekend.
Punt A heeft dan de coördinaten ( t, 8). Het bedekte gebied is grijs gekleurd.
figuur 3
y
A
8
B
O 8 x
De afstand in cm tussen A en B op tijdstip t noemen we a( t).
Er geldt: a (t ) = 128 − 16t + t 2 .
3p 6 Toon dit aan.
Het bedekte gebied op een tijdstip t tussen 0 en 16 is een rechthoek. De oppervlakte in cm2
van deze rechthoek noemen we G(t). De zijden van de rechthoek zijn ook rechthoekszijden
van gelijkbenige rechthoekige driehoeken met lange zijden t en 16 − t.
Er geldt: G (t ) = − 12 t 2 + 8t.
4p 7 Toon dit aan.
De oppervlakte G van het bedekte gebied neemt eerst toe en later af. De afstand a tussen A
en B neemt eerst af en later toe.
5p 8 Leid met behulp van differentiëren uit de formules voor G(t) en a(t) af dat G en a op
hetzelfde tijdstip hun uiterste waarde bereiken.
De oppervlakte G kan ook uitgedrukt worden in a.
Er geldt: G = c − 12 a 2 waarbij 8 ≤ a < 128 .
4p 9 Bereken c.
600025-1-18o 3 Lees verder
Examen VWO
20
wiskunde B1
Voorbereidend
Wetenschappelijk
Onderwijs
Tijdvak 1
Dinsdag 30 mei
13.30 – 16.30 uur
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
behalen; het examen bestaat uit 21 vragen. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel gevraagd en je geeft meer dan twee redenen,
punten met een goed antwoord behaald kunnen dan worden alleen de eerste twee in de
worden. beoordeling meegeteld.
600025-1-18o Begin
, Sauna
Om 15.00 uur wordt het verwarmingselement van een sauna aangezet. Vanaf dat moment
wordt de sauna opgewarmd. Dan geldt: S (t ) = 200 − 180 ⋅ e−0,29t .
Hierin is S de temperatuur in de sauna in graden Celsius en t de tijd in uren vanaf 15.00 uur.
De thermostaat van de sauna is ingesteld op 100 ° C. Zodra die temperatuur bereikt is, wordt
het opwarmen gestopt. Vanaf dat moment wordt de temperatuur constant gehouden.
In figuur 1 staat de grafiek van S .
figuur 1
100
S
80
60
40
20
0
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
t
4p 1 Bereken hoe laat het opwarmen wordt gestopt. Geef het tijdstip in minuten nauwkeurig.
4p 2 Bereken met behulp van differentiëren de snelheid waarmee de temperatuur in de sauna
toeneemt om 16.00 uur. Geef je antwoord in tienden van graden Celsius per minuut.
Om bij een ingestelde temperatuur van de thermostaat uit te rekenen hoe lang de sauna
nodig heeft om deze temperatuur te bereiken, kun je een formule gebruiken die t uitdrukt
in S .
4p 3 Druk t uit in S.
Bosbouwprojecten
Wereldwijd bestaan bosbouwprojecten waarin geïnvesteerd kan worden. Er wordt elk jaar
teakhout aangeplant dat na 20 jaar gekapt wordt. Om beleggers te interesseren wordt van
verschillende projecten informatie gepubliceerd over de gemiddelde opbrengst in kubieke
meter per hectare.
Bij European Trees is de gemiddelde opbrengst normaal verdeeld met verwachtingswaarde
800 m3 /ha en standaardafwijking 33 m3 /ha.
4p 4 Bereken de kans dat bij European Trees de gemiddelde opbrengst meer dan 10% afwijkt van
de verwachtingswaarde van 800 m3 /ha.
Bij Earthbound is de gemiddelde opbrengst ook normaal verdeeld. De verwachtingswaarde van
de gemiddelde opbrengst is 950 m3 /ha. De kans op een gemiddelde opbrengst van minder dan
98% van de verwachtingswaarde is slechts 0,01.
4p 5 Bereken de standaardafwijking van de gemiddelde opbrengst voor Earthbound.
600025-1-18o 2 Lees verder
, Bedekken
Een geodriehoek is een gelijkbenige rechthoekige driehoek. We plaatsen twee
geodriehoeken met een lange zijde van 16 cm in een rechthoekig assenstelsel met eenheid
1 cm op de manier die in figuur 2 (verkleind) is getekend.
De top A van de linker driehoek heeft de coördinaten (0, 8).
De top B van de rechter driehoek heeft de coördinaten (8, 0).
figuur 2
y
A
8
B
O 8 x
De linker driehoek begint op tijdstip t = 0 naar rechts te schuiven over de rechter driehoek
met een snelheid van 1 cm/s. Daarbij wordt een gedeelte van de rechter driehoek door de
linker driehoek bedekt. De tijd t wordt gemeten in seconden.
In figuur 3 is de situatie voor een zeker tijdstip t getekend.
Punt A heeft dan de coördinaten ( t, 8). Het bedekte gebied is grijs gekleurd.
figuur 3
y
A
8
B
O 8 x
De afstand in cm tussen A en B op tijdstip t noemen we a( t).
Er geldt: a (t ) = 128 − 16t + t 2 .
3p 6 Toon dit aan.
Het bedekte gebied op een tijdstip t tussen 0 en 16 is een rechthoek. De oppervlakte in cm2
van deze rechthoek noemen we G(t). De zijden van de rechthoek zijn ook rechthoekszijden
van gelijkbenige rechthoekige driehoeken met lange zijden t en 16 − t.
Er geldt: G (t ) = − 12 t 2 + 8t.
4p 7 Toon dit aan.
De oppervlakte G van het bedekte gebied neemt eerst toe en later af. De afstand a tussen A
en B neemt eerst af en later toe.
5p 8 Leid met behulp van differentiëren uit de formules voor G(t) en a(t) af dat G en a op
hetzelfde tijdstip hun uiterste waarde bereiken.
De oppervlakte G kan ook uitgedrukt worden in a.
Er geldt: G = c − 12 a 2 waarbij 8 ≤ a < 128 .
4p 9 Bereken c.
600025-1-18o 3 Lees verder
