05
Examen VWO
20
wiskunde B1
Voorbereidend
Wetenschappelijk
Onderwijs
Tijdvak 1
Dinsdag 31 mei
13.30 – 16.30 uur
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te
behalen; het examen bestaat uit 20 vragen. Geef niet meer antwoorden (redenen,
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
punten met een goed antwoord behaald kunnen Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
worden. gevraagd en je geeft meer dan twee redenen,
Voor de beantwoording van vraag 12 is een dan worden alleen de eerste twee in de
uitwerkbijlage bijgevoegd. beoordeling meegeteld.
500018-1-16o Begin
, Inademen
Bij controlemetingen aan de ademhaling wordt men gevraagd om diep uit te ademen en
vervolgens gedurende vijf seconden zo diep mogelijk in te ademen.
Tijdens het inademen is de hoeveelheid verse lucht in de longen een functie van de tijd.
Voor gezonde mensen gebruiken we het volgende model: L(t ) = 3, 6(1 − e −2,5t ).
Hierbij is L de hoeveelheid verse lucht in liters en t de tijd in seconden ( 0 ≤ t ≤ 5 ).
De maximale hoeveelheid verse lucht in de longen van gezonde mensen is volgens dit
model ongeveer 3,6 liter.
3p 1 Bereken na hoeveel seconden 90% van deze maximale hoeveelheid verse lucht is
ingeademd.
Astma is een aandoening aan de luchtwegen. Bij astmapatiënten is de maximale
hoeveelheid verse lucht in de longen kleiner en duurt het langer voordat dit maximum
bereikt wordt. Voor astmapatiënten gebruiken we het model: Lα (t ) = α ⋅ 3,6(1 − e −2,5αt ).
Hierbij is α een constante tussen 0 en 1 die afhankelijk is van de zwaarte van de astma.
In figuur 1 is de grafiek van de hoeveelheid figuur 1
hoeveelheid
ingeademde verse lucht getekend voor een verse lucht
(liter)
gezond persoon en voor een zekere 4
astmapatiënt.
gezond persoon
4p 2 Bereken voor deze astmapatiënt α in één
3
decimaal nauwkeurig. Licht je werkwijze toe.
Een gezond persoon heeft na 2 seconden al 2
astmapati nt
astmapatiënt
99% van de maximale hoeveelheid verse
lucht van 3,6 liter ingeademd. 1
Voor een bepaalde astmapatiënt geldt
α = 0,3.
0
4p 3 Bereken hoeveel procent van de maximale 0 1 2 3 4 5
hoeveelheid verse lucht deze astmapatiënt na tijd (seconden)
2 seconden heeft ingeademd.
Ga bij de volgende vraag weer uit van de formule Lα (t ) = α ⋅ 3,6(1 − e −2,5αt ).
De snelheid waarmee de hoeveelheid verse lucht toeneemt, is maximaal op het tijdstip t = 0.
5p 4 Bereken voor welke waarde van α deze maximale snelheid gelijk is aan 4,5 liter per
seconde.
Lichaamsgewicht
Het gewicht van volwassen Nederlanders is bij benadering normaal verdeeld met
gemiddelde 76 kg en standaardafwijking 10 kg. In deze opgave werken we met deze
normale verdeling.
Bij een onderzoek worden 1200 personen gewogen.
3p 5 Bereken de verwachtingswaarde van het aantal proefpersonen met een gewicht tussen 66 en
86 kg.
5p 6 Bereken de kans dat van twee willekeurig gekozen personen er één zwaarder is dan 82 kg
en één lichter dan 82 kg.
500018-1-16o 2 Lees verder
, Rechthoek om driehoek
figuur 2
Een gelijkbenige driehoek met een tophoek van 30 ° ( 16 π radialen) en twee zijden van
lengte 1 wordt op een rechthoekig blaadje papier gelegd met de top in een hoekpunt van het
papier. Zie figuur 2.
Vervolgens wordt door elk van de andere hoekpunten van de driehoek een lijn getrokken
evenwijdig aan een rand van het blaadje. Door de getekende lijnen en de randen van het
blaadje papier wordt zo een rechthoek gevormd.
figuur 3
In figuur 3 is bij vijf verschillende posities van de driehoek de bijbehorende rechthoek
getekend.
In figuur 4 zijn voor een willekeurige situatie figuur 4
R
C
Q
letters bij de hoekpunten gezet.
Om driehoek ABC met tophoek A is rechthoek
APQR gevormd.
1
Bij elke stand van driehoek ABC hoort een
hoek PAB. Noem de grootte van deze hoek x B
1π
radialen, dus ∠ PAB = x, met 0 ≤ x ≤ 13 π . 6 1
x
Verder is AB = AC = 1 en ∠BAC = 1
6
π. A P
3p 7 Bereken voor welke waarde van x rechthoek APQR een vierkant is.
De oppervlakte van rechthoek APQR is een functie van x en wordt aangegeven met O(x).
Er geldt: O(x) = cos x · cos( 13 π − x).
4p 8 Toon dit aan.
Voor de afgeleide functie van O geldt: O′( x) = sin( 13 π − 2 x) .
5p 9 Toon dit langs algebraïsche weg aan.
4p 10 Bereken de exacte waarden die O(x) kan aannemen.
500018-1-16o 3 Lees verder
Examen VWO
20
wiskunde B1
Voorbereidend
Wetenschappelijk
Onderwijs
Tijdvak 1
Dinsdag 31 mei
13.30 – 16.30 uur
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te
behalen; het examen bestaat uit 20 vragen. Geef niet meer antwoorden (redenen,
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
punten met een goed antwoord behaald kunnen Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
worden. gevraagd en je geeft meer dan twee redenen,
Voor de beantwoording van vraag 12 is een dan worden alleen de eerste twee in de
uitwerkbijlage bijgevoegd. beoordeling meegeteld.
500018-1-16o Begin
, Inademen
Bij controlemetingen aan de ademhaling wordt men gevraagd om diep uit te ademen en
vervolgens gedurende vijf seconden zo diep mogelijk in te ademen.
Tijdens het inademen is de hoeveelheid verse lucht in de longen een functie van de tijd.
Voor gezonde mensen gebruiken we het volgende model: L(t ) = 3, 6(1 − e −2,5t ).
Hierbij is L de hoeveelheid verse lucht in liters en t de tijd in seconden ( 0 ≤ t ≤ 5 ).
De maximale hoeveelheid verse lucht in de longen van gezonde mensen is volgens dit
model ongeveer 3,6 liter.
3p 1 Bereken na hoeveel seconden 90% van deze maximale hoeveelheid verse lucht is
ingeademd.
Astma is een aandoening aan de luchtwegen. Bij astmapatiënten is de maximale
hoeveelheid verse lucht in de longen kleiner en duurt het langer voordat dit maximum
bereikt wordt. Voor astmapatiënten gebruiken we het model: Lα (t ) = α ⋅ 3,6(1 − e −2,5αt ).
Hierbij is α een constante tussen 0 en 1 die afhankelijk is van de zwaarte van de astma.
In figuur 1 is de grafiek van de hoeveelheid figuur 1
hoeveelheid
ingeademde verse lucht getekend voor een verse lucht
(liter)
gezond persoon en voor een zekere 4
astmapatiënt.
gezond persoon
4p 2 Bereken voor deze astmapatiënt α in één
3
decimaal nauwkeurig. Licht je werkwijze toe.
Een gezond persoon heeft na 2 seconden al 2
astmapati nt
astmapatiënt
99% van de maximale hoeveelheid verse
lucht van 3,6 liter ingeademd. 1
Voor een bepaalde astmapatiënt geldt
α = 0,3.
0
4p 3 Bereken hoeveel procent van de maximale 0 1 2 3 4 5
hoeveelheid verse lucht deze astmapatiënt na tijd (seconden)
2 seconden heeft ingeademd.
Ga bij de volgende vraag weer uit van de formule Lα (t ) = α ⋅ 3,6(1 − e −2,5αt ).
De snelheid waarmee de hoeveelheid verse lucht toeneemt, is maximaal op het tijdstip t = 0.
5p 4 Bereken voor welke waarde van α deze maximale snelheid gelijk is aan 4,5 liter per
seconde.
Lichaamsgewicht
Het gewicht van volwassen Nederlanders is bij benadering normaal verdeeld met
gemiddelde 76 kg en standaardafwijking 10 kg. In deze opgave werken we met deze
normale verdeling.
Bij een onderzoek worden 1200 personen gewogen.
3p 5 Bereken de verwachtingswaarde van het aantal proefpersonen met een gewicht tussen 66 en
86 kg.
5p 6 Bereken de kans dat van twee willekeurig gekozen personen er één zwaarder is dan 82 kg
en één lichter dan 82 kg.
500018-1-16o 2 Lees verder
, Rechthoek om driehoek
figuur 2
Een gelijkbenige driehoek met een tophoek van 30 ° ( 16 π radialen) en twee zijden van
lengte 1 wordt op een rechthoekig blaadje papier gelegd met de top in een hoekpunt van het
papier. Zie figuur 2.
Vervolgens wordt door elk van de andere hoekpunten van de driehoek een lijn getrokken
evenwijdig aan een rand van het blaadje. Door de getekende lijnen en de randen van het
blaadje papier wordt zo een rechthoek gevormd.
figuur 3
In figuur 3 is bij vijf verschillende posities van de driehoek de bijbehorende rechthoek
getekend.
In figuur 4 zijn voor een willekeurige situatie figuur 4
R
C
Q
letters bij de hoekpunten gezet.
Om driehoek ABC met tophoek A is rechthoek
APQR gevormd.
1
Bij elke stand van driehoek ABC hoort een
hoek PAB. Noem de grootte van deze hoek x B
1π
radialen, dus ∠ PAB = x, met 0 ≤ x ≤ 13 π . 6 1
x
Verder is AB = AC = 1 en ∠BAC = 1
6
π. A P
3p 7 Bereken voor welke waarde van x rechthoek APQR een vierkant is.
De oppervlakte van rechthoek APQR is een functie van x en wordt aangegeven met O(x).
Er geldt: O(x) = cos x · cos( 13 π − x).
4p 8 Toon dit aan.
Voor de afgeleide functie van O geldt: O′( x) = sin( 13 π − 2 x) .
5p 9 Toon dit langs algebraïsche weg aan.
4p 10 Bereken de exacte waarden die O(x) kan aannemen.
500018-1-16o 3 Lees verder
