05
Examen VWO
20
wiskunde A1
Voorbereidend
Wetenschappelijk
Onderwijs
Tijdvak 1
Woensdag 25 mei
13.30 – 16.30 uur
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te
behalen; het examen bestaat uit 21 vragen. Geef niet meer antwoorden (redenen,
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
punten met een goed antwoord behaald kunnen Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
worden. gevraagd en je geeft meer dan twee redenen,
Voor de uitwerking van vraag 16 is een dan worden alleen de eerste twee in de
uitwerkbijlage toegevoegd. beoordeling meegeteld.
500018-1-14o Begin
, Meer neerslag
De laatste tijd komen er steeds meer aanwijzingen dat het klimaat op aarde verandert. Dit
heeft onder andere gevolgen voor de jaarlijkse hoeveelheid neerslag in Nederland. Om een
indruk te krijgen van die jaarlijkse hoeveelheid neerslag zijn in tabel 1 gegevens van vijf
meetstations in de periode 1905-1998 weergegeven.
tabel 1
Gemiddelde jaarlijkse hoeveelheid neerslag gedurende de periode 1905-1998
De Bilt Gemert Volkel Leeuwarden Hoofddorp Winterswijk
gemiddelde (mm) 783 711 753 768 768
standaardafwijking (mm) 139 123 106 127 136
We nemen aan dat de jaarlijkse hoeveelheid neerslag bij elk van de meetstations normaal
verdeeld is.
We bekijken de kans dat er in een jaar meer dan 950 mm neerslag valt. Weerkundigen
veronderstelden tot voor kort dat dergelijke kansen in de loop van de jaren niet veranderen.
Op grond van het bovenstaande kunnen we nagaan of deze kans in Winterswijk groter is
dan in Hoofddorp zonder deze kans uit te rekenen.
4p 1 Geef aan in welk van beide plaatsen de kans dat er in een jaar meer dan 950 mm neerslag
valt, het grootst is. Motiveer je antwoord zonder daarbij deze kans uit te rekenen.
3p 2 Bereken de kans dat in een jaar in Leeuwarden meer dan 950 mm neerslag valt.
Zoals gezegd veronderstelden weerkundigen tot voor kort dat kansen op bepaalde
hoeveelheden neerslag in de loop van de jaren niet veranderen. Inmiddels is men tot het
inzicht gekomen dat er sprake is van een trend: de jaarlijkse hoeveelheid neerslag in
Nederland neemt langzaam toe. In figuur 1 is voor elk jaar de gemiddelde hoeveelheid
neerslag van de vijf meetstations met een blokje aangegeven. Bovendien is daarbij de
zogenaamde trendlijn getekend. De trendlijn volgt zo goed mogelijk de gemiddelde
jaarlijkse hoeveelheid neerslag. De trendlijn kan worden gebruikt om een schatting te
maken van de te verwachten hoeveelheid neerslag in de komende jaren.
figuur 1
1100
neerslag
(mm)
1000
900
800
700
600
500
400
0
1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
jaartal
Legenda: trendlijn
gemiddelde hoeveelheid neerslag van de vijf meetstations
500018-1-14o 2 Lees verder
, We veronderstellen dat de te verwachten jaarlijkse hoeveelheid neerslag N in mm in de
toekomst lineair zal blijven toenemen. N kan dan worden geschreven als een functie van het
aantal jaren t dat is verstreken vanaf 1900.
5p 3 Stel een formule op voor N en bereken daarmee in welk jaar de hoeveelheid neerslag
volgens de trendlijn voor het eerst groter zal zijn dan 850 mm.
Er zijn ook andere manieren om te onderzoeken of het gedurende de afgelopen eeuw
‘natter’ is geworden. We kunnen kijken naar de 5 ‘natste’ jaren. Deze zijn in figuur 1 af te
lezen, namelijk 1961, 1965, 1966, 1994 en 1998. Het blijkt dat de 5 ‘natste’ jaren allemaal
na 1951 vielen, dus in de tweede helft van de periode 1905-1998.
Stel dat je 5 jaren willekeurig kiest uit deze periode van 94 jaar. De kans dat je uitsluitend
jaren uit de tweede helft van de periode kiest, is klein.
4p 4 Bereken deze kans. Geef het antwoord in vier decimalen nauwkeurig.
Een andere maat voor de ‘natheid’ van een jaar is het aantal maanden van dat jaar dat de
neerslag boven een bepaalde waarde, de grenswaarde, komt. Die grenswaarden zijn 30, 40,
50, …, 130 mm. Met de gegevens over de periode 1905-1998 is tabel 2 gemaakt.
tabel 2 Gemiddeld aantal maanden per jaar met grenswaardenoverschrijding
grenswaarde
>30 >40 >50 >60 >70 >80 >90 >100 >110 >120 >130
neerslag (mm)
gemiddeld aantal
10,2 9,2 7,9 6,5 5,4 3,8 2,7 1,9 1,4 1,1 0,6
maanden per jaar
Uit tabel 2 lezen we bijvoorbeeld af dat het aantal maanden per jaar waarin meer dan
60 mm neerslag viel, gemiddeld 6,5 bedroeg.
Men spreekt van een extreem nat jaar als meer dan 9 van deze grenswaarden vaker worden
overschreden dan de overeenkomstige waarde in tabel 2.
De gegevens van De Bilt over 2001 zijn weergegeven in tabel 3.
tabel 3 Maandelijkse hoeveelheid neerslag in De Bilt in 2001
maand jan feb mrt apr mei juni juli aug sep okt nov dec
neerslag (mm) 71 89 74 87 29 54 87 116 211 41 85 94
4p 5 Onderzoek of 2001 voor De Bilt een extreem nat jaar was.
500018-1-14o 3 Lees verder
Examen VWO
20
wiskunde A1
Voorbereidend
Wetenschappelijk
Onderwijs
Tijdvak 1
Woensdag 25 mei
13.30 – 16.30 uur
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te
behalen; het examen bestaat uit 21 vragen. Geef niet meer antwoorden (redenen,
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
punten met een goed antwoord behaald kunnen Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
worden. gevraagd en je geeft meer dan twee redenen,
Voor de uitwerking van vraag 16 is een dan worden alleen de eerste twee in de
uitwerkbijlage toegevoegd. beoordeling meegeteld.
500018-1-14o Begin
, Meer neerslag
De laatste tijd komen er steeds meer aanwijzingen dat het klimaat op aarde verandert. Dit
heeft onder andere gevolgen voor de jaarlijkse hoeveelheid neerslag in Nederland. Om een
indruk te krijgen van die jaarlijkse hoeveelheid neerslag zijn in tabel 1 gegevens van vijf
meetstations in de periode 1905-1998 weergegeven.
tabel 1
Gemiddelde jaarlijkse hoeveelheid neerslag gedurende de periode 1905-1998
De Bilt Gemert Volkel Leeuwarden Hoofddorp Winterswijk
gemiddelde (mm) 783 711 753 768 768
standaardafwijking (mm) 139 123 106 127 136
We nemen aan dat de jaarlijkse hoeveelheid neerslag bij elk van de meetstations normaal
verdeeld is.
We bekijken de kans dat er in een jaar meer dan 950 mm neerslag valt. Weerkundigen
veronderstelden tot voor kort dat dergelijke kansen in de loop van de jaren niet veranderen.
Op grond van het bovenstaande kunnen we nagaan of deze kans in Winterswijk groter is
dan in Hoofddorp zonder deze kans uit te rekenen.
4p 1 Geef aan in welk van beide plaatsen de kans dat er in een jaar meer dan 950 mm neerslag
valt, het grootst is. Motiveer je antwoord zonder daarbij deze kans uit te rekenen.
3p 2 Bereken de kans dat in een jaar in Leeuwarden meer dan 950 mm neerslag valt.
Zoals gezegd veronderstelden weerkundigen tot voor kort dat kansen op bepaalde
hoeveelheden neerslag in de loop van de jaren niet veranderen. Inmiddels is men tot het
inzicht gekomen dat er sprake is van een trend: de jaarlijkse hoeveelheid neerslag in
Nederland neemt langzaam toe. In figuur 1 is voor elk jaar de gemiddelde hoeveelheid
neerslag van de vijf meetstations met een blokje aangegeven. Bovendien is daarbij de
zogenaamde trendlijn getekend. De trendlijn volgt zo goed mogelijk de gemiddelde
jaarlijkse hoeveelheid neerslag. De trendlijn kan worden gebruikt om een schatting te
maken van de te verwachten hoeveelheid neerslag in de komende jaren.
figuur 1
1100
neerslag
(mm)
1000
900
800
700
600
500
400
0
1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
jaartal
Legenda: trendlijn
gemiddelde hoeveelheid neerslag van de vijf meetstations
500018-1-14o 2 Lees verder
, We veronderstellen dat de te verwachten jaarlijkse hoeveelheid neerslag N in mm in de
toekomst lineair zal blijven toenemen. N kan dan worden geschreven als een functie van het
aantal jaren t dat is verstreken vanaf 1900.
5p 3 Stel een formule op voor N en bereken daarmee in welk jaar de hoeveelheid neerslag
volgens de trendlijn voor het eerst groter zal zijn dan 850 mm.
Er zijn ook andere manieren om te onderzoeken of het gedurende de afgelopen eeuw
‘natter’ is geworden. We kunnen kijken naar de 5 ‘natste’ jaren. Deze zijn in figuur 1 af te
lezen, namelijk 1961, 1965, 1966, 1994 en 1998. Het blijkt dat de 5 ‘natste’ jaren allemaal
na 1951 vielen, dus in de tweede helft van de periode 1905-1998.
Stel dat je 5 jaren willekeurig kiest uit deze periode van 94 jaar. De kans dat je uitsluitend
jaren uit de tweede helft van de periode kiest, is klein.
4p 4 Bereken deze kans. Geef het antwoord in vier decimalen nauwkeurig.
Een andere maat voor de ‘natheid’ van een jaar is het aantal maanden van dat jaar dat de
neerslag boven een bepaalde waarde, de grenswaarde, komt. Die grenswaarden zijn 30, 40,
50, …, 130 mm. Met de gegevens over de periode 1905-1998 is tabel 2 gemaakt.
tabel 2 Gemiddeld aantal maanden per jaar met grenswaardenoverschrijding
grenswaarde
>30 >40 >50 >60 >70 >80 >90 >100 >110 >120 >130
neerslag (mm)
gemiddeld aantal
10,2 9,2 7,9 6,5 5,4 3,8 2,7 1,9 1,4 1,1 0,6
maanden per jaar
Uit tabel 2 lezen we bijvoorbeeld af dat het aantal maanden per jaar waarin meer dan
60 mm neerslag viel, gemiddeld 6,5 bedroeg.
Men spreekt van een extreem nat jaar als meer dan 9 van deze grenswaarden vaker worden
overschreden dan de overeenkomstige waarde in tabel 2.
De gegevens van De Bilt over 2001 zijn weergegeven in tabel 3.
tabel 3 Maandelijkse hoeveelheid neerslag in De Bilt in 2001
maand jan feb mrt apr mei juni juli aug sep okt nov dec
neerslag (mm) 71 89 74 87 29 54 87 116 211 41 85 94
4p 5 Onderzoek of 2001 voor De Bilt een extreem nat jaar was.
500018-1-14o 3 Lees verder
