03
Examen VWO
20
Wiskunde A1 (nieuwe stijl)
Voorbereidend
Wetenschappelijk
Onderwijs
Tijdvak 1
Dinsdag 27 mei
13.30 – 16.30 uur
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
behalen; het examen bestaat uit 22 vragen. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel gevraagd en je geeft meer dan twee redenen,
punten met een goed antwoord behaald kunnen dan worden alleen de eerste twee in de
worden. beoordeling meegeteld.
300010 18 Begin
, Levensduur van koffiezetapparaten
Enkele jaren geleden is onderzocht hoe lang nieuw aangeschafte koffiezetapparaten
meegaan. Op basis daarvan is een kansmodel gemaakt zoals weergegeven in figuur 1.
Hierin is bijvoorbeeld te zien dat alle apparaten een half jaar na aanschaf nog in gebruik
zijn. Ook is te zien dat voor een apparaat van 1,5 jaar oud de kans 0,97 is dat het een jaar
later nog steeds in gebruik is, en dus de kans 0,03 is dat het in dat jaar wordt afgedankt.
figuur 1 apparaat
aangeschaft
0,5 jaar 1,5 jaar 2,5 jaar 3,5 jaar 4,5 jaar 5,5 jaar 6,5 jaar 7,5 jaar 8,5 jaar na aanschaf
1,00 0,99 0,97 0,87 0,75 0,60 0,46 0,37 0,16
We passen dit model toe op een groep van 1500 nieuwe koffiezetapparaten. De levensduur
van een apparaat is de tijdsduur tussen het aanschaffen en het afdanken van het apparaat.
Uit de gegevens in figuur 1 volgt dat 187 van deze 1500 koffiezetapparaten een levensduur
hebben tussen 2,5 en 3,5 jaar.
4p 1 Laat met een berekening zien dat dit klopt.
Het bovengenoemde aantal 187 vind je terug in tabel 1. De andere aantallen in deze tabel
zijn op overeenkomstige wijze berekend.
tabel 1 Levensduur van 1500 koffiezetapparaten
levensduur aantal
in jaren koffiezetapparaten
0,5-1,5 15
1,5-2,5 45
2,5-3,5 187
3,5-4,5 313
4,5-5,5 376
5,5-6,5 305
6,5-7,5 163
7,5-8,5 81
>8,5 15
7p 2 Verwerk de gegevens van tabel 1 op normaal waarschijnlijkheidspapier en toon daarmee
aan dat de levensduur bij benadering normaal verdeeld is met een gemiddelde van 5,0 jaar
en een standaardafwijking van 1,6 jaar.
We nemen voor de rest van deze opgave aan dat de levensduur van koffiezetapparaten
normaal verdeeld is met een gemiddelde van 5,0 jaar en een standaardafwijking van
1,6 jaar.
Iemand heeft 9 jaar geleden zijn eerste koffiezetapparaat gekocht en nu, 9 jaar later, is net
zijn derde koffiezetapparaat kapot gegaan. Hij gaat naar de winkel en moppert tegen de
verkoper dat dit toch wel heel uitzonderlijk is.
De klant redeneert als volgt: “Drie koffiezetapparaten in negen jaar, dat is drie jaar per
apparaat. Je zou verwachten dat zo’n apparaat wel langer dan drie jaar meegaat. De kans dat
dit drie keer achter elkaar niet het geval is, is wel heel erg klein.”
5p 3 Bereken de kans dat drie willekeurig gekozen koffiezetapparaten elk een levensduur van ten
hoogste drie jaar hebben.
300010 18 2 Lees verder
, We gaan nog even terug naar het onderzoek uit het begin van de opgave. Voor dit
onderzoek heeft men niet een aantal koffiezetapparaten gedurende hun hele levensduur
gevolgd. In plaats daarvan heeft men begin januari 1997 een enquête uitgevoerd onder
4000 huishoudens. Deze enquête heeft men precies een jaar later opnieuw uitgevoerd bij
dezelfde 4000 huishoudens. Beide keren werd gevraagd of men een koffiezetapparaat
gebruikte en zo ja, in welk kalenderjaar het was aangeschaft.
Op basis van de zo verkregen gegevens hebben de onderzoekers het model van figuur 1
opgesteld. Daarbij gingen ze ervan uit dat koffiezetapparaten uit verschillende jaren
gelijkwaardig zijn wat de levensduur betreft. Bovendien gingen ze ervan uit dat de
koffiezetapparaten uit elk kalenderjaar gelijkmatig gespreid over dat jaar zijn aangeschaft,
en dus aan het eind van het jaar van aanschaf gemiddeld een half jaar oud zijn.
Begin januari 1997 gebruikten 506 van de onderzochte huishoudens een koffiezetapparaat
dat in 1993 was aangeschaft. Begin januari 1998, een jaar later dus, bleek dat 125 van deze
apparaten inmiddels waren afgedankt.
3p 4 Welke van de kansen uit figuur 1 kan uit deze gegevens worden afgeleid? Licht je antwoord
toe met een berekening van de betreffende kans.
300010 18 3 Lees verder
, De Nederlandse bevolking
In figuur 2 is de groei van de Nederlandse bevolking tussen 1900 en 1974 weergegeven.
Langs de verticale as is een logaritmische schaalverdeling gebruikt. Zo kun je aflezen dat
Nederland in 1900 ruim 5 miljoen inwoners telde. Ook zie je in de figuur een ‘inzetje’
waarin informatie staat over het stijgingspercentage van grafieken bij een logaritmische
schaalverdeling.
figuur 2 aantal
mensen
10.000.000 = 107
stijgingspercentage
10%
5
0
-5
1.000.000 = 106
1900 '10 '20 '30 '40 '50 '60 '70 '74
tijd
De bevolking groeide in de beschreven periode bij benadering exponentieel.
Tussen 1 januari 1900 en 1 januari 1974 is de Nederlandse bevolking van 5 miljoen naar
13,4 miljoen mensen gegroeid. Hieruit kunnen we de volgende formule afleiden:
N = 5 ⋅1,142t
In deze formule is N het aantal inwoners van Nederland in miljoenen en t de tijd in
tientallen jaren met t = 0 op 1 januari 1900.
4p 5 Toon aan dat deze formule klopt door de formule af te leiden uit de aantallen van 1900 en
1974.
De grafiek van N vertoont een knikje bij het jaar 1945. Volgens een demograaf die deze
grafiek in een artikel gebruikt, betekent deze knik dat er in 1945 ruim 80 000 inwoners
minder waren dan er volgens bovenstaande formule voor N zouden zijn.
3p 6 Leg uit hoe de demograaf dit getal gevonden kan hebben. Maak daarbij gebruik van de
grafiek in figuur 2 en de formule voor N.
Neem voor de volgende vraag eens aan dat het aantal inwoners van Nederland zich ook na
1974 zou hebben ontwikkeld volgens de formule voor N.
4p 7 Bereken in welk jaar het aantal van 18 miljoen mensen dan zou worden bereikt.
300010 18 4 Lees verder
Examen VWO
20
Wiskunde A1 (nieuwe stijl)
Voorbereidend
Wetenschappelijk
Onderwijs
Tijdvak 1
Dinsdag 27 mei
13.30 – 16.30 uur
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
behalen; het examen bestaat uit 22 vragen. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel gevraagd en je geeft meer dan twee redenen,
punten met een goed antwoord behaald kunnen dan worden alleen de eerste twee in de
worden. beoordeling meegeteld.
300010 18 Begin
, Levensduur van koffiezetapparaten
Enkele jaren geleden is onderzocht hoe lang nieuw aangeschafte koffiezetapparaten
meegaan. Op basis daarvan is een kansmodel gemaakt zoals weergegeven in figuur 1.
Hierin is bijvoorbeeld te zien dat alle apparaten een half jaar na aanschaf nog in gebruik
zijn. Ook is te zien dat voor een apparaat van 1,5 jaar oud de kans 0,97 is dat het een jaar
later nog steeds in gebruik is, en dus de kans 0,03 is dat het in dat jaar wordt afgedankt.
figuur 1 apparaat
aangeschaft
0,5 jaar 1,5 jaar 2,5 jaar 3,5 jaar 4,5 jaar 5,5 jaar 6,5 jaar 7,5 jaar 8,5 jaar na aanschaf
1,00 0,99 0,97 0,87 0,75 0,60 0,46 0,37 0,16
We passen dit model toe op een groep van 1500 nieuwe koffiezetapparaten. De levensduur
van een apparaat is de tijdsduur tussen het aanschaffen en het afdanken van het apparaat.
Uit de gegevens in figuur 1 volgt dat 187 van deze 1500 koffiezetapparaten een levensduur
hebben tussen 2,5 en 3,5 jaar.
4p 1 Laat met een berekening zien dat dit klopt.
Het bovengenoemde aantal 187 vind je terug in tabel 1. De andere aantallen in deze tabel
zijn op overeenkomstige wijze berekend.
tabel 1 Levensduur van 1500 koffiezetapparaten
levensduur aantal
in jaren koffiezetapparaten
0,5-1,5 15
1,5-2,5 45
2,5-3,5 187
3,5-4,5 313
4,5-5,5 376
5,5-6,5 305
6,5-7,5 163
7,5-8,5 81
>8,5 15
7p 2 Verwerk de gegevens van tabel 1 op normaal waarschijnlijkheidspapier en toon daarmee
aan dat de levensduur bij benadering normaal verdeeld is met een gemiddelde van 5,0 jaar
en een standaardafwijking van 1,6 jaar.
We nemen voor de rest van deze opgave aan dat de levensduur van koffiezetapparaten
normaal verdeeld is met een gemiddelde van 5,0 jaar en een standaardafwijking van
1,6 jaar.
Iemand heeft 9 jaar geleden zijn eerste koffiezetapparaat gekocht en nu, 9 jaar later, is net
zijn derde koffiezetapparaat kapot gegaan. Hij gaat naar de winkel en moppert tegen de
verkoper dat dit toch wel heel uitzonderlijk is.
De klant redeneert als volgt: “Drie koffiezetapparaten in negen jaar, dat is drie jaar per
apparaat. Je zou verwachten dat zo’n apparaat wel langer dan drie jaar meegaat. De kans dat
dit drie keer achter elkaar niet het geval is, is wel heel erg klein.”
5p 3 Bereken de kans dat drie willekeurig gekozen koffiezetapparaten elk een levensduur van ten
hoogste drie jaar hebben.
300010 18 2 Lees verder
, We gaan nog even terug naar het onderzoek uit het begin van de opgave. Voor dit
onderzoek heeft men niet een aantal koffiezetapparaten gedurende hun hele levensduur
gevolgd. In plaats daarvan heeft men begin januari 1997 een enquête uitgevoerd onder
4000 huishoudens. Deze enquête heeft men precies een jaar later opnieuw uitgevoerd bij
dezelfde 4000 huishoudens. Beide keren werd gevraagd of men een koffiezetapparaat
gebruikte en zo ja, in welk kalenderjaar het was aangeschaft.
Op basis van de zo verkregen gegevens hebben de onderzoekers het model van figuur 1
opgesteld. Daarbij gingen ze ervan uit dat koffiezetapparaten uit verschillende jaren
gelijkwaardig zijn wat de levensduur betreft. Bovendien gingen ze ervan uit dat de
koffiezetapparaten uit elk kalenderjaar gelijkmatig gespreid over dat jaar zijn aangeschaft,
en dus aan het eind van het jaar van aanschaf gemiddeld een half jaar oud zijn.
Begin januari 1997 gebruikten 506 van de onderzochte huishoudens een koffiezetapparaat
dat in 1993 was aangeschaft. Begin januari 1998, een jaar later dus, bleek dat 125 van deze
apparaten inmiddels waren afgedankt.
3p 4 Welke van de kansen uit figuur 1 kan uit deze gegevens worden afgeleid? Licht je antwoord
toe met een berekening van de betreffende kans.
300010 18 3 Lees verder
, De Nederlandse bevolking
In figuur 2 is de groei van de Nederlandse bevolking tussen 1900 en 1974 weergegeven.
Langs de verticale as is een logaritmische schaalverdeling gebruikt. Zo kun je aflezen dat
Nederland in 1900 ruim 5 miljoen inwoners telde. Ook zie je in de figuur een ‘inzetje’
waarin informatie staat over het stijgingspercentage van grafieken bij een logaritmische
schaalverdeling.
figuur 2 aantal
mensen
10.000.000 = 107
stijgingspercentage
10%
5
0
-5
1.000.000 = 106
1900 '10 '20 '30 '40 '50 '60 '70 '74
tijd
De bevolking groeide in de beschreven periode bij benadering exponentieel.
Tussen 1 januari 1900 en 1 januari 1974 is de Nederlandse bevolking van 5 miljoen naar
13,4 miljoen mensen gegroeid. Hieruit kunnen we de volgende formule afleiden:
N = 5 ⋅1,142t
In deze formule is N het aantal inwoners van Nederland in miljoenen en t de tijd in
tientallen jaren met t = 0 op 1 januari 1900.
4p 5 Toon aan dat deze formule klopt door de formule af te leiden uit de aantallen van 1900 en
1974.
De grafiek van N vertoont een knikje bij het jaar 1945. Volgens een demograaf die deze
grafiek in een artikel gebruikt, betekent deze knik dat er in 1945 ruim 80 000 inwoners
minder waren dan er volgens bovenstaande formule voor N zouden zijn.
3p 6 Leg uit hoe de demograaf dit getal gevonden kan hebben. Maak daarbij gebruik van de
grafiek in figuur 2 en de formule voor N.
Neem voor de volgende vraag eens aan dat het aantal inwoners van Nederland zich ook na
1974 zou hebben ontwikkeld volgens de formule voor N.
4p 7 Bereken in welk jaar het aantal van 18 miljoen mensen dan zou worden bereikt.
300010 18 4 Lees verder
