Wiskunde A Examen VWO 2011

Examen VWO

2011
tijdvak 1
dinsdag 24 mei
13.30 - 16.30 uur


wiskunde A




Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.


VW-1024-a-11-1-o

, OVERZICHT FORMULES

Kansrekening
Voor toevalsvariabelen X en Y geldt: E ( X  Y )  E ( X )  E (Y )
Voor onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt: σ( X  Y )  σ 2 ( X )  σ 2 (Y )
n -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten
geldt voor de som S en het gemiddelde X van de uitkomsten X:
E (S )  n  E ( X ) σ( S )  n  σ( X )
σ( X )
E( X )  E( X ) σ( X ) 
n

Binomiale verdeling
Voor de binomiaal verdeelde toevalsvariabele X, waarbij n het aantal
experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt:
n
P(X  k )     p k  (1  p) n k met k = 0, 1, 2, 3, …, n
k 
Verwachting: E ( X )  n  p Standaardafwijking: σ( X )  n  p  (1  p )


Normale verdeling
Voor een toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde μ en
standaardafwijking σ geldt:
X μ g μ
Z is standaard-normaal verdeeld en P( X  g )  P( Z  )
σ σ

Differentiëren
naam van de regel functie afgeleide
somregel s ( x)  f ( x)  g ( x) s' ( x)  f ' ( x)  g' ( x)

productregel p ( x)  f ( x)  g ( x) p' ( x)  f ' ( x)  g ( x)  f ( x)  g' ( x)

f ( x) f ' ( x)  g ( x)  f ( x)  g' ( x)
quotiëntregel q ( x)  q' ( x) 
g ( x) ( g ( x)) 2
dk df dg
kettingregel k ( x)  f ( g ( x)) k ' ( x)  f ' ( g ( x))  g' ( x) of  
dx dg dx

Logaritmen
regel voorwaarde
g
log a  log b  log ab
g g g > 0, g  1, a > 0, b > 0
a
g
log a  g log b  g log g > 0, g  1, a > 0, b > 0
b
g
log a  p  log a
p g g > 0, g  1, a > 0
p
log a
g
log a  p
g > 0, g  1, a > 0, p > 0, p  1
log g



VW-1024-a-11-1-o 2 lees verder ►►►

,VW-1024-a-11-1-o 3 lees verder ►►►

, Dennenhout

Een deel van de bossen in Nederland is bestemd voor de houtindustrie. Voordat
een bos wordt gekapt, onderzoekt men meestal eerst hoeveel m 3 hout het bos
op zal leveren. Dit gebeurt aan de hand van de diameter en de hoogte van
bomen. De diameter van een boom wordt gemeten op een vaste hoogte.
Voor het bepalen van de hoeveelheid hout in één boom wordt gebruik gemaakt
van de volgende formule:
V  f  d 2  h met diameter d en hoogte h beide in m (meter)
In deze formule is V het volume aan hout in de boom in m3. De factor f heet de
vormfactor. De vormfactor is een getal dat afhangt van de soort boom en de
diameter d van de boom.

Een voorbeeld van een boom die gebruikt wordt in de houtindustrie is de grove
den (Pinus sylvestris). Zie de figuur.

Voor de grove den wordt het verband tussen de figuur
vormfactor f en de diameter d (in m) bij
benadering gegeven door de volgende formule:
f  0,30  d 2  0,36  d  0, 46


In een bos staat een grove den met een diameter
van 0,16 m.
4p 1 Bereken hoeveel procent de vormfactor van deze
boom afneemt als de diameter van deze boom
met 100% toeneemt.

De grootste bekende diameter van een grove den
is 1,2 m. Naarmate de diameter van een grove
den groter is, is de hoogte ook groter. Voor de grove den geldt bij benadering
het volgende verband tussen de hoogte h en de diameter d:
h  44  d 0,65
Ook hier is de diameter in m en de hoogte in m.

Een grove den van 40 m hoog wordt gekapt.
4p 2 Bereken hoeveel hout deze grove den volgens de formules bevat.




VW-1024-a-11-1-o 4 lees verder ►►►