Examen VWO
2010
tijdvak 1
dinsdag 25 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 20 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 86 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1024-a-10-1-o
, OVERZICHT FORMULES
Kansrekening
Voor toevalsvariabelen X en Y geldt: E ( X + Y ) = E ( X ) + E (Y )
Voor onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt: σ( X + Y ) = σ 2 ( X ) + σ 2 (Y )
n -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten
geldt voor de som S en het gemiddelde X van de uitkomsten X:
E (S ) = n ⋅ E ( X ) σ( S ) = n ⋅ σ( X )
σ( X )
E( X ) = E( X ) σ( X ) =
n
Binomiale verdeling
Voor de binomiaal verdeelde toevalsvariabele X, waarbij n het aantal
experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt:
⎛n⎞
P(X = k ) = ⎜ ⎟ ⋅ p k ⋅ (1 − p) n− k met k = 0, 1, 2, 3, …, n
⎝k ⎠
Verwachting: E ( X ) = n ⋅ p Standaardafwijking: σ( X ) = n ⋅ p ⋅ (1 − p )
Normale verdeling
Voor een toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde μ en
standaardafwijking σ geldt:
X −μ g −μ
Z= is standaard-normaal verdeeld en P( X < g ) = P( Z < )
σ σ
Differentiëren
naam van de regel functie afgeleide
somregel s ( x) = f ( x) + g ( x) s' ( x) = f ' ( x) + g' ( x)
productregel p ( x) = f ( x) ⋅ g ( x) p' ( x) = f ' ( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g' ( x)
f ( x) f ' ( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g' ( x)
quotiëntregel q ( x) = q' ( x) =
g ( x) ( g ( x)) 2
dk df dg
kettingregel k ( x) = f ( g ( x)) k ' ( x) = f ' ( g ( x)) ⋅ g' ( x) of = ⋅
dx dg dx
Logaritmen
regel voorwaarde
g g
log a + log b = log ab g g > 0, g ≠ 1, a > 0, b > 0
g a
log a − g log b = g log g > 0, g ≠ 1, a > 0, b > 0
b
g p g g > 0, g ≠ 1, a > 0
log a = p ⋅ log a
p
g log a
log a = p
g > 0, g ≠ 1, a > 0, p > 0, p ≠ 1
log g
VW-1024-a-10-1-o 2 lees verder ►►►
,VW-1024-a-10-1-o 3 lees verder ►►►
, Marathonloopsters
De Olympische hardloopwedstrijd met de grootste lengte is de marathon: ruim
42 kilometer, om precies te zijn 42 195 meter. De marathon wordt zowel door
mannen als door vrouwen gelopen. In deze opgave concentreren we ons op de
marathonloopsters.
De prestatie van een loopster geeft men in krantenberichten meestal weer door
de tijd waarin de marathon is afgelegd, maar een even duidelijke maat is de
gemiddelde snelheid over het gehele parcours. Dit noemen we kortweg de
snelheid. Deze snelheid drukken we uit in m/s (meters per seconde).
Een marathonloopster legt de marathon af in 2 uur, 43 minuten en 32 seconden.
3p 1 Bereken haar snelheid in m/s.
Elmer Sterken van de Rijksuniversiteit Groningen heeft onderzoek gedaan naar
het verband tussen de snelheid van Amerikaanse marathonloopsters en hun
leeftijden. Figuur 1 is afkomstig uit het rapport dat hij daarover geschreven
heeft. In figuur 1 is voor iedere leeftijd weergegeven de hoogste snelheid ooit
gelopen door een Amerikaanse (zie de ‘zigzaglijn’). De geregistreerde leeftijden
lopen van 6 tot en met 90 jaar1).
figuur 1
6
snelheid
(m/s)
5
4
3
2
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
leeftijd (jaren)
De ‘zigzaglijn’ is in figuur 1 benaderd door de grafiek met de formule:
v = 2,836 ⋅ x 0,665 − 1,390 ⋅ x 0,818
Hierin is v de hoogste snelheid in m/s van marathonloopsters met een leeftijd
van x jaar. In figuur 2 is de grafiek van v weergegeven.
noot 1 Figuur 1 is ontstaan door allerlei gegevens van verschillende loopafstanden (op verantwoorde
manier) om te zetten naar de marathonlengte. Hierdoor zijn in deze figuur ook voor een
marathon onwaarschijnlijk jonge leeftijden vermeld.
VW-1024-a-10-1-o 4 lees verder ►►►
2010
tijdvak 1
dinsdag 25 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 20 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 86 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1024-a-10-1-o
, OVERZICHT FORMULES
Kansrekening
Voor toevalsvariabelen X en Y geldt: E ( X + Y ) = E ( X ) + E (Y )
Voor onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldt: σ( X + Y ) = σ 2 ( X ) + σ 2 (Y )
n -wet: bij een serie van n onafhankelijk van elkaar herhaalde experimenten
geldt voor de som S en het gemiddelde X van de uitkomsten X:
E (S ) = n ⋅ E ( X ) σ( S ) = n ⋅ σ( X )
σ( X )
E( X ) = E( X ) σ( X ) =
n
Binomiale verdeling
Voor de binomiaal verdeelde toevalsvariabele X, waarbij n het aantal
experimenten is en p de kans op succes per keer, geldt:
⎛n⎞
P(X = k ) = ⎜ ⎟ ⋅ p k ⋅ (1 − p) n− k met k = 0, 1, 2, 3, …, n
⎝k ⎠
Verwachting: E ( X ) = n ⋅ p Standaardafwijking: σ( X ) = n ⋅ p ⋅ (1 − p )
Normale verdeling
Voor een toevalsvariabele X die normaal verdeeld is met gemiddelde μ en
standaardafwijking σ geldt:
X −μ g −μ
Z= is standaard-normaal verdeeld en P( X < g ) = P( Z < )
σ σ
Differentiëren
naam van de regel functie afgeleide
somregel s ( x) = f ( x) + g ( x) s' ( x) = f ' ( x) + g' ( x)
productregel p ( x) = f ( x) ⋅ g ( x) p' ( x) = f ' ( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g' ( x)
f ( x) f ' ( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g' ( x)
quotiëntregel q ( x) = q' ( x) =
g ( x) ( g ( x)) 2
dk df dg
kettingregel k ( x) = f ( g ( x)) k ' ( x) = f ' ( g ( x)) ⋅ g' ( x) of = ⋅
dx dg dx
Logaritmen
regel voorwaarde
g g
log a + log b = log ab g g > 0, g ≠ 1, a > 0, b > 0
g a
log a − g log b = g log g > 0, g ≠ 1, a > 0, b > 0
b
g p g g > 0, g ≠ 1, a > 0
log a = p ⋅ log a
p
g log a
log a = p
g > 0, g ≠ 1, a > 0, p > 0, p ≠ 1
log g
VW-1024-a-10-1-o 2 lees verder ►►►
,VW-1024-a-10-1-o 3 lees verder ►►►
, Marathonloopsters
De Olympische hardloopwedstrijd met de grootste lengte is de marathon: ruim
42 kilometer, om precies te zijn 42 195 meter. De marathon wordt zowel door
mannen als door vrouwen gelopen. In deze opgave concentreren we ons op de
marathonloopsters.
De prestatie van een loopster geeft men in krantenberichten meestal weer door
de tijd waarin de marathon is afgelegd, maar een even duidelijke maat is de
gemiddelde snelheid over het gehele parcours. Dit noemen we kortweg de
snelheid. Deze snelheid drukken we uit in m/s (meters per seconde).
Een marathonloopster legt de marathon af in 2 uur, 43 minuten en 32 seconden.
3p 1 Bereken haar snelheid in m/s.
Elmer Sterken van de Rijksuniversiteit Groningen heeft onderzoek gedaan naar
het verband tussen de snelheid van Amerikaanse marathonloopsters en hun
leeftijden. Figuur 1 is afkomstig uit het rapport dat hij daarover geschreven
heeft. In figuur 1 is voor iedere leeftijd weergegeven de hoogste snelheid ooit
gelopen door een Amerikaanse (zie de ‘zigzaglijn’). De geregistreerde leeftijden
lopen van 6 tot en met 90 jaar1).
figuur 1
6
snelheid
(m/s)
5
4
3
2
1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
leeftijd (jaren)
De ‘zigzaglijn’ is in figuur 1 benaderd door de grafiek met de formule:
v = 2,836 ⋅ x 0,665 − 1,390 ⋅ x 0,818
Hierin is v de hoogste snelheid in m/s van marathonloopsters met een leeftijd
van x jaar. In figuur 2 is de grafiek van v weergegeven.
noot 1 Figuur 1 is ontstaan door allerlei gegevens van verschillende loopafstanden (op verantwoorde
manier) om te zetten naar de marathonlengte. Hierdoor zijn in deze figuur ook voor een
marathon onwaarschijnlijk jonge leeftijden vermeld.
VW-1024-a-10-1-o 4 lees verder ►►►
