Examen HAVO
2010
tijdvak 1
dinsdag 18 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A
Dit examen bestaat uit 23 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 82 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1024-a-10-1-o
, Een tenniswedstrijd
De finale in het herenenkelspel van het tennistoernooi Australian Open van 2007
ging tussen de tennissers Roger Federer en Fernando Gonzalez. Roger Federer
won. Hij speelde al negen keer eerder tegen Fernando Gonzalez en al die
wedstrijden won hij.
Wanneer twee spelers met hetzelfde krachtsverschil als Federer en Gonzalez
tegen elkaar spelen, is de kans dat de sterkste de wedstrijd wint, gelijk aan 0,94.
We bekijken 10 van dergelijke wedstrijden.
3p 1 Bereken de kans dat de sterkste speler in die 10 wedstrijden 10 keer van de
andere speler wint.
Voor het vervolg van de opgave is het nodig enkele begrippen vast te leggen.
Bij tennis wordt een bal met een racket over een net gespeeld. Bij een wedstrijd
moet de bal binnen de speelhelft van de tegenstander worden geslagen. De
speler die in een slagenwisseling als laatste een geldige slag doet, krijgt een
punt.
De bal wordt in het spel gebracht met een service. De speler die dat mag doen,
heeft de servicebeurt. De speler mag een mislukte service éénmaal overdoen.
Bij een tweede mislukte service is de servicebeurt voorbij en gaat het punt naar
de tegenstander.
Na afloop stonden op teletekst de statistieken van de wedstrijd. In de tabel is
een gedeelte daarvan opgenomen.
tabel
Federer Gonzalez
Totaal aantal servicebeurten 86 127
Aantal eerste services gelukt 50 77
Wint punt nadat eerste service gelukt is 82% 69%
Aantal tweede services gelukt 35 47
Wint punt nadat tweede service gelukt is 80% 49%
HA-1024-a-10-1-o 2 lees verder ►►►
, We kijken naar de servicebeurten van Federer. In de figuur zijn die schematisch
weergegeven. Hierin staan ook percentages die niet in de tabel staan, maar er
wel uit zijn af te leiden. De percentages in de figuur en in de tabel zijn afgerond.
figuur
punt Federer
82%
spel gaat door
eerste service gelukt
18% punt Gonzalez
58%
Federer serveert
punt Federer
80%
42% tweede service gelukt
97%
20% punt Gonzalez
eerste service mislukt
3% tweede service mislukt, punt Gonzalez
4p 2 Leg uit hoe de percentages 42% en 97% in de figuur kunnen worden afgeleid uit
de tabel.
3p 3 Bereken de kans dat Federer het punt wint als hij zelf serveert.
Federer krijgt negen servicebeurten achter elkaar. We kijken naar het mislukken
van de eerste service.
4p 4 Bereken uitgaande van het schema in de figuur de kans dat in deze negen
servicebeurten vijf keer of meer de eerste service mislukt.
Ook voor een servicebeurt van Gonzalez is uit de gegevens van de tabel een
schema af te leiden.
6p 5 Maak voor de situatie dat Gonzalez serveert een vergelijkbaar schema als in
de figuur en bereken daarmee de kans dat Federer het punt wint in de
servicebeurt van Gonzalez.
HA-1024-a-10-1-o 3 lees verder ►►►
, China’s defensie-uitgaven
China ontwikkelt zich in hoog tempo tot grootmacht, ook op het militaire vlak.
Het Pentagon, het Amerikaanse Ministerie van Defensie, houdt de Chinese
defensie-uitgaven nauwlettend in de gaten. In figuur 1 staan de Chinese
defensie-uitgaven volgens China zelf en volgens twee schattingen van het
Pentagon, een hoge en een lage. Duidelijk is te zien dat het Pentagon uitgaat
van veel hogere defensie-uitgaven dan China opgeeft.
figuur 1
100
bedrag in
miljarden 90
dollars 80
70
60
50
40
30
20
10
0
94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05
Legenda: tijd
hoge schatting werkelijke uitgaven
lage schatting werkelijke uitgaven
uitgaven volgens China
In figuur 1 is te zien dat de hoge schatting van de uitgaven vanaf 1994 tot 1999
(nagenoeg) lineair toenam van 37 miljard dollar tot 56 miljard dollar. Stel dat
deze lineaire toename ook na 1999 was doorgegaan.
3p 6 Bereken hoe groot de hoge schatting van de uitgaven dan in 2003 zou zijn
geweest.
Volgens het Pentagon namen de defensie-uitgaven in de periode van 2001 tot
2005 exponentieel toe. De hoge schatting steeg van 65 miljard dollar in 2001 tot
93 miljard dollar in 2005.
4p 7 Bereken het jaarlijkse groeipercentage dat het Pentagon als uitgangspunt nam
voor de hoge schatting (in deze periode). Geef je antwoord in één decimaal
nauwkeurig.
In 2005 was de lage schatting 65 miljard dollar en de hoge 93 miljard dollar, een
verschil van 28 miljard dollar.
Voor de jaren na 2005 voorspelde het Pentagon dat de defensie-uitgaven
exponentieel zouden blijven toenemen. Voor de lage schatting (in deze periode)
ging het Pentagon uit van een jaarlijkse groei van 8,5% en voor de hoge
schatting van 9,5%.
5p 8 Bereken in welk jaar het verschil tussen de lage en de hoge schatting voor het
eerst meer dan 50 miljard dollar zal zijn.
HA-1024-a-10-1-o 4 lees verder ►►►
2010
tijdvak 1
dinsdag 18 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A
Dit examen bestaat uit 23 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 82 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1024-a-10-1-o
, Een tenniswedstrijd
De finale in het herenenkelspel van het tennistoernooi Australian Open van 2007
ging tussen de tennissers Roger Federer en Fernando Gonzalez. Roger Federer
won. Hij speelde al negen keer eerder tegen Fernando Gonzalez en al die
wedstrijden won hij.
Wanneer twee spelers met hetzelfde krachtsverschil als Federer en Gonzalez
tegen elkaar spelen, is de kans dat de sterkste de wedstrijd wint, gelijk aan 0,94.
We bekijken 10 van dergelijke wedstrijden.
3p 1 Bereken de kans dat de sterkste speler in die 10 wedstrijden 10 keer van de
andere speler wint.
Voor het vervolg van de opgave is het nodig enkele begrippen vast te leggen.
Bij tennis wordt een bal met een racket over een net gespeeld. Bij een wedstrijd
moet de bal binnen de speelhelft van de tegenstander worden geslagen. De
speler die in een slagenwisseling als laatste een geldige slag doet, krijgt een
punt.
De bal wordt in het spel gebracht met een service. De speler die dat mag doen,
heeft de servicebeurt. De speler mag een mislukte service éénmaal overdoen.
Bij een tweede mislukte service is de servicebeurt voorbij en gaat het punt naar
de tegenstander.
Na afloop stonden op teletekst de statistieken van de wedstrijd. In de tabel is
een gedeelte daarvan opgenomen.
tabel
Federer Gonzalez
Totaal aantal servicebeurten 86 127
Aantal eerste services gelukt 50 77
Wint punt nadat eerste service gelukt is 82% 69%
Aantal tweede services gelukt 35 47
Wint punt nadat tweede service gelukt is 80% 49%
HA-1024-a-10-1-o 2 lees verder ►►►
, We kijken naar de servicebeurten van Federer. In de figuur zijn die schematisch
weergegeven. Hierin staan ook percentages die niet in de tabel staan, maar er
wel uit zijn af te leiden. De percentages in de figuur en in de tabel zijn afgerond.
figuur
punt Federer
82%
spel gaat door
eerste service gelukt
18% punt Gonzalez
58%
Federer serveert
punt Federer
80%
42% tweede service gelukt
97%
20% punt Gonzalez
eerste service mislukt
3% tweede service mislukt, punt Gonzalez
4p 2 Leg uit hoe de percentages 42% en 97% in de figuur kunnen worden afgeleid uit
de tabel.
3p 3 Bereken de kans dat Federer het punt wint als hij zelf serveert.
Federer krijgt negen servicebeurten achter elkaar. We kijken naar het mislukken
van de eerste service.
4p 4 Bereken uitgaande van het schema in de figuur de kans dat in deze negen
servicebeurten vijf keer of meer de eerste service mislukt.
Ook voor een servicebeurt van Gonzalez is uit de gegevens van de tabel een
schema af te leiden.
6p 5 Maak voor de situatie dat Gonzalez serveert een vergelijkbaar schema als in
de figuur en bereken daarmee de kans dat Federer het punt wint in de
servicebeurt van Gonzalez.
HA-1024-a-10-1-o 3 lees verder ►►►
, China’s defensie-uitgaven
China ontwikkelt zich in hoog tempo tot grootmacht, ook op het militaire vlak.
Het Pentagon, het Amerikaanse Ministerie van Defensie, houdt de Chinese
defensie-uitgaven nauwlettend in de gaten. In figuur 1 staan de Chinese
defensie-uitgaven volgens China zelf en volgens twee schattingen van het
Pentagon, een hoge en een lage. Duidelijk is te zien dat het Pentagon uitgaat
van veel hogere defensie-uitgaven dan China opgeeft.
figuur 1
100
bedrag in
miljarden 90
dollars 80
70
60
50
40
30
20
10
0
94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05
Legenda: tijd
hoge schatting werkelijke uitgaven
lage schatting werkelijke uitgaven
uitgaven volgens China
In figuur 1 is te zien dat de hoge schatting van de uitgaven vanaf 1994 tot 1999
(nagenoeg) lineair toenam van 37 miljard dollar tot 56 miljard dollar. Stel dat
deze lineaire toename ook na 1999 was doorgegaan.
3p 6 Bereken hoe groot de hoge schatting van de uitgaven dan in 2003 zou zijn
geweest.
Volgens het Pentagon namen de defensie-uitgaven in de periode van 2001 tot
2005 exponentieel toe. De hoge schatting steeg van 65 miljard dollar in 2001 tot
93 miljard dollar in 2005.
4p 7 Bereken het jaarlijkse groeipercentage dat het Pentagon als uitgangspunt nam
voor de hoge schatting (in deze periode). Geef je antwoord in één decimaal
nauwkeurig.
In 2005 was de lage schatting 65 miljard dollar en de hoge 93 miljard dollar, een
verschil van 28 miljard dollar.
Voor de jaren na 2005 voorspelde het Pentagon dat de defensie-uitgaven
exponentieel zouden blijven toenemen. Voor de lage schatting (in deze periode)
ging het Pentagon uit van een jaarlijkse groei van 8,5% en voor de hoge
schatting van 9,5%.
5p 8 Bereken in welk jaar het verschil tussen de lage en de hoge schatting voor het
eerst meer dan 50 miljard dollar zal zijn.
HA-1024-a-10-1-o 4 lees verder ►►►
