Examen HAVO
2014
tijdvak 1
woensdag 14 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Dit examen bestaat uit 19 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1025-a-14-1-o
, Kwelders
De vorm van eilanden, bijvoorbeeld in de Waddenzee, verandert
voortdurend. De zee spoelt stukken strand weg en op andere plekken
ontstaat juist nieuw land. Deze nieuwe stukken land worden kwelders
genoemd.
Een plant die op kwelders groeit, is de zoutmelde. Het verband tussen de
leeftijd van een kwelder en het percentage van de bodem dat bedekt is
met zoutmelde kan bij benadering beschreven worden door de formule:
100
P (t )
1 3000 0,5t
Hierin is P het percentage van de kwelder dat bedekt is met zoutmelde en
t de leeftijd van de kwelder in jaren. In figuur 1 is de bijbehorende grafiek
getekend.
figuur 1
100
zoutmelde-
bedekking
(in %)
O 10 20 30
leeftijd kwelder (in jaren)
3p 1 Bereken na hoeveel jaar de helft van een kwelder bedekt is met
zoutmelde. Rond je antwoord af op een geheel aantal jaren.
HA-1025-a-14-1-o 2/9 lees verder ►►►
, Zoutmelde neemt na verloop van tijd de plaats in van een deel van de
planten die door ganzen worden gegeten. Ganzen eten de zoutmelde niet.
Daarom heeft de hoeveelheid zoutmelde invloed op het aantal ganzen.
Het gemiddelde aantal ganzen per vierkante kilometer kwelder hangt dus
af van de leeftijd van de kwelder. Dit verband kan vanaf het vierde jaar bij
benadering beschreven worden door de formules:
G1 (t ) 2(t 4) 2 voor 4 t 8
G2 (t ) 2(t 12) 2 64 voor 8 t 16
80t 1184
G3 (t ) voor t 16
4t 61
Hierin zijn G1 , G2 en G3 de gansdichtheden in de verschillende periodes
en is t de leeftijd van de kwelder in jaren. De gansdichtheid is het
gemiddelde aantal ganzen per vierkante kilometer kwelder. In figuur 2 zijn
de bijbehorende grafieken getekend.
figuur 2
70
gansdichtheid
(in ganzen per km2)
O 10 20 30
leeftijd kwelder (in jaren)
De grafieken van de eerste twee periodes sluiten vloeiend op elkaar aan.
Dit betekent dat aan de volgende twee voorwaarden is voldaan:
1 de formules hebben voor t 8 dezelfde uitkomst;
2 de hellingen van de grafieken zijn voor t 8 aan elkaar gelijk.
4p 2 Toon op algebraïsche wijze aan dat aan beide voorwaarden is voldaan.
Gedurende een aantal jaren ligt de gansdichtheid boven de 40 (ganzen
per km2).
4p 3 Bereken gedurende hoeveel jaar dit het geval is.
Als de kwelder op den duur grotendeels is begroeid met zoutmelde is het
voor de ganzen moeilijk om voedsel te vinden. Toch blijven er dan ganzen
op de kwelder komen. In figuur 2 is te zien dat de gansdichtheid op de
lange duur tot een bepaalde grenswaarde daalt.
3p 4 Onderzoek hoe groot deze grenswaarde volgens de formule voor G3 is.
HA-1025-a-14-1-o 3/9 lees verder ►►►
, Gebroken functie
60
De functie f is gegeven door f ( x) 4
.
x 4
In de figuur is de grafiek van f getekend.
figuur
y
f
2
-2 O 2 x
De horizontale lijn met vergelijking y 2 snijdt de grafiek van f in
twee punten.
4p 5 Bereken exact de coördinaten van deze twee punten.
240 x3
Voor de afgeleide van f geldt: f ' ( x) 4
( x 4) 2
4p 6 Toon dit op algebraïsche wijze aan.
Het punt A (2, 3) ligt op de grafiek van f.
3p 7 Bereken exact de waarden van a en b waarvoor y ax b een
vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in A is.
HA-1025-a-14-1-o 4/9 lees verder ►►►
2014
tijdvak 1
woensdag 14 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Dit examen bestaat uit 19 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1025-a-14-1-o
, Kwelders
De vorm van eilanden, bijvoorbeeld in de Waddenzee, verandert
voortdurend. De zee spoelt stukken strand weg en op andere plekken
ontstaat juist nieuw land. Deze nieuwe stukken land worden kwelders
genoemd.
Een plant die op kwelders groeit, is de zoutmelde. Het verband tussen de
leeftijd van een kwelder en het percentage van de bodem dat bedekt is
met zoutmelde kan bij benadering beschreven worden door de formule:
100
P (t )
1 3000 0,5t
Hierin is P het percentage van de kwelder dat bedekt is met zoutmelde en
t de leeftijd van de kwelder in jaren. In figuur 1 is de bijbehorende grafiek
getekend.
figuur 1
100
zoutmelde-
bedekking
(in %)
O 10 20 30
leeftijd kwelder (in jaren)
3p 1 Bereken na hoeveel jaar de helft van een kwelder bedekt is met
zoutmelde. Rond je antwoord af op een geheel aantal jaren.
HA-1025-a-14-1-o 2/9 lees verder ►►►
, Zoutmelde neemt na verloop van tijd de plaats in van een deel van de
planten die door ganzen worden gegeten. Ganzen eten de zoutmelde niet.
Daarom heeft de hoeveelheid zoutmelde invloed op het aantal ganzen.
Het gemiddelde aantal ganzen per vierkante kilometer kwelder hangt dus
af van de leeftijd van de kwelder. Dit verband kan vanaf het vierde jaar bij
benadering beschreven worden door de formules:
G1 (t ) 2(t 4) 2 voor 4 t 8
G2 (t ) 2(t 12) 2 64 voor 8 t 16
80t 1184
G3 (t ) voor t 16
4t 61
Hierin zijn G1 , G2 en G3 de gansdichtheden in de verschillende periodes
en is t de leeftijd van de kwelder in jaren. De gansdichtheid is het
gemiddelde aantal ganzen per vierkante kilometer kwelder. In figuur 2 zijn
de bijbehorende grafieken getekend.
figuur 2
70
gansdichtheid
(in ganzen per km2)
O 10 20 30
leeftijd kwelder (in jaren)
De grafieken van de eerste twee periodes sluiten vloeiend op elkaar aan.
Dit betekent dat aan de volgende twee voorwaarden is voldaan:
1 de formules hebben voor t 8 dezelfde uitkomst;
2 de hellingen van de grafieken zijn voor t 8 aan elkaar gelijk.
4p 2 Toon op algebraïsche wijze aan dat aan beide voorwaarden is voldaan.
Gedurende een aantal jaren ligt de gansdichtheid boven de 40 (ganzen
per km2).
4p 3 Bereken gedurende hoeveel jaar dit het geval is.
Als de kwelder op den duur grotendeels is begroeid met zoutmelde is het
voor de ganzen moeilijk om voedsel te vinden. Toch blijven er dan ganzen
op de kwelder komen. In figuur 2 is te zien dat de gansdichtheid op de
lange duur tot een bepaalde grenswaarde daalt.
3p 4 Onderzoek hoe groot deze grenswaarde volgens de formule voor G3 is.
HA-1025-a-14-1-o 3/9 lees verder ►►►
, Gebroken functie
60
De functie f is gegeven door f ( x) 4
.
x 4
In de figuur is de grafiek van f getekend.
figuur
y
f
2
-2 O 2 x
De horizontale lijn met vergelijking y 2 snijdt de grafiek van f in
twee punten.
4p 5 Bereken exact de coördinaten van deze twee punten.
240 x3
Voor de afgeleide van f geldt: f ' ( x) 4
( x 4) 2
4p 6 Toon dit op algebraïsche wijze aan.
Het punt A (2, 3) ligt op de grafiek van f.
3p 7 Bereken exact de waarden van a en b waarvoor y ax b een
vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in A is.
HA-1025-a-14-1-o 4/9 lees verder ►►►
