Examen HAVO
2012
tijdvak 1
donderdag 24 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 19 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1025-a-12-1-o
, Vliegende parkieten
De wetenschapper Vance Tucker heeft onderzocht hoeveel energie een parkiet
verbruikt bij het vliegen met verschillende snelheden.
Uit zijn onderzoek blijkt dat de hoeveelheid energie die een parkiet per meter bij
een bepaalde snelheid verbruikt, bij benadering berekend kan worden met
behulp van de formule
6, 0
D= 2
+ 0, 00050v 2 − 0, 033
v
Hierin is D het energieverbruik per meter (in Joule per meter, J/m) en v de
snelheid in meter per seconde (m/s). De formule geldt voor v > 5.
In de figuur zie je de grafiek die bij deze formule hoort.
figuur
Een parkiet versnelt van 12 m/s naar 15 m/s.
4p 1 Bereken met hoeveel procent D toeneemt.
Als het energieverbruik per meter minder is dan 0,10 J/m, kan een parkiet heel
lang blijven vliegen.
4p 2 Bereken bij welke snelheden dit het geval is. Geef je antwoord in meter per
seconde in één decimaal nauwkeurig.
De snelheid waarbij het energieverbruik per meter minimaal is, heet de
kruissnelheid. Om de kruissnelheid te berekenen, is de afgeleide van D nodig.
Er geldt
dD 12, 0
− 3 + 0, 00100v
=
dv v
dD
3p 3 Toon de juistheid van deze formule voor aan.
dv
4p 4 Bereken op algebraïsche wijze de kruissnelheid van parkieten in meter per
seconde. Rond daarna je antwoord af op één decimaal.
HA-1025-a-12-1-o 2 lees verder ►►►
, Prisma
Gegeven is balk ABCD.EFGH, met AB = 8 en BC = CG = 6 . De punten K
respectievelijk L zijn de middens van AE respectievelijk BF. De punten M en N
liggen op FG en EH zo dat HN = GM = 2.
figuur 1
Van balk ABCD.EFGH wordt een stuk afgesneden zodat prisma
ADHNK.BCGML ontstaat. Zie figuur 1.
Op de uitwerkbijlage is een begin getekend van een uitslag van het prisma.
Hierbij komt een lengte-eenheid van de balk in figuur 1 overeen met 0,5 cm.
4p 5 Maak deze uitslag af. Zet de namen bij alle hoekpunten.
Het prisma wordt doorsneden door het figuur 2
vlak PQRST. Dit vlak is evenwijdig aan
ADHNK en verdeelt prisma
ADHNK.BCGML in twee delen. Zie
figuur 2.
De lengte van AP is zo gekozen dat de
inhoud van het deel ADHNK.PQRST
een kwart is van de inhoud van balk
ABCD.EFGH.
5p 6 Bereken de lengte van AP.
HA-1025-a-12-1-o 3 lees verder ►►►
, CO2
Sinds 1870 meet men de CO 2-concentratie in de atmosfeer. De
CO2-concentratie wordt uitgedrukt in parts per million (ppm). Dit is het aantal
CO2-deeltjes per miljoen deeltjes. In de figuur kun je zien hoe de
CO2-concentratie in de atmosfeer is veranderd in de periode 1870-2000. Deze
figuur is vergroot op de uitwerkbijlage weergegeven.
figuur
In het jaar 1900 veronderstelde de latere Nobelprijswinnaar Arrhenius dat de
lineaire groei van de CO 2-concentratie zoals die toen al sinds 1880 optrad, zich
op dezelfde manier zou voortzetten. Hij voorspelde hiermee hoeveel de
CO2-concentratie tussen 1900 en 2000 zou toenemen. De toename zoals die
door Arrhenius is voorspeld, is veel kleiner dan de werkelijke toename tussen
1900 en 2000.
3p 7 Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage hoeveel ppm de door
Arrhenius voorspelde toename te klein uitviel.
Na 1930 steeg de CO 2-concentratie sneller dan Arrhenius in 1900 had
aangenomen. Een model dat beter past bij de gegevens van 1930 tot 2000 gaat
uit van een natuurlijk niveau in de CO 2-concentratie met daar bovenop een
bijdrage van de mens aan de CO2-concentratie, de zogeheten menselijke
component. Wetenschappers hebben kunnen vaststellen dat het natuurlijke
niveau al eeuwen rond de 285 ppm schommelt. Voor de menselijke component
vanaf 1930 wordt in het model uitgegaan van exponentiële groei.
In 1930 bedroeg de CO2-concentratie 300 ppm. Hiervan was 285 ppm het
natuurlijke niveau en 15 ppm de menselijke component. In 2000 was de CO2-
concentratie gestegen tot 370 ppm. Met behulp van deze gegevens kun je
berekenen met hoeveel procent de menselijke component elke 10 jaar volgens
het model toeneemt.
4p 8 Bereken deze procentuele toename per 10 jaar. Rond je antwoord af op een
geheel aantal procenten.
HA-1025-a-12-1-o 4 lees verder ►►►
2012
tijdvak 1
donderdag 24 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 19 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1025-a-12-1-o
, Vliegende parkieten
De wetenschapper Vance Tucker heeft onderzocht hoeveel energie een parkiet
verbruikt bij het vliegen met verschillende snelheden.
Uit zijn onderzoek blijkt dat de hoeveelheid energie die een parkiet per meter bij
een bepaalde snelheid verbruikt, bij benadering berekend kan worden met
behulp van de formule
6, 0
D= 2
+ 0, 00050v 2 − 0, 033
v
Hierin is D het energieverbruik per meter (in Joule per meter, J/m) en v de
snelheid in meter per seconde (m/s). De formule geldt voor v > 5.
In de figuur zie je de grafiek die bij deze formule hoort.
figuur
Een parkiet versnelt van 12 m/s naar 15 m/s.
4p 1 Bereken met hoeveel procent D toeneemt.
Als het energieverbruik per meter minder is dan 0,10 J/m, kan een parkiet heel
lang blijven vliegen.
4p 2 Bereken bij welke snelheden dit het geval is. Geef je antwoord in meter per
seconde in één decimaal nauwkeurig.
De snelheid waarbij het energieverbruik per meter minimaal is, heet de
kruissnelheid. Om de kruissnelheid te berekenen, is de afgeleide van D nodig.
Er geldt
dD 12, 0
− 3 + 0, 00100v
=
dv v
dD
3p 3 Toon de juistheid van deze formule voor aan.
dv
4p 4 Bereken op algebraïsche wijze de kruissnelheid van parkieten in meter per
seconde. Rond daarna je antwoord af op één decimaal.
HA-1025-a-12-1-o 2 lees verder ►►►
, Prisma
Gegeven is balk ABCD.EFGH, met AB = 8 en BC = CG = 6 . De punten K
respectievelijk L zijn de middens van AE respectievelijk BF. De punten M en N
liggen op FG en EH zo dat HN = GM = 2.
figuur 1
Van balk ABCD.EFGH wordt een stuk afgesneden zodat prisma
ADHNK.BCGML ontstaat. Zie figuur 1.
Op de uitwerkbijlage is een begin getekend van een uitslag van het prisma.
Hierbij komt een lengte-eenheid van de balk in figuur 1 overeen met 0,5 cm.
4p 5 Maak deze uitslag af. Zet de namen bij alle hoekpunten.
Het prisma wordt doorsneden door het figuur 2
vlak PQRST. Dit vlak is evenwijdig aan
ADHNK en verdeelt prisma
ADHNK.BCGML in twee delen. Zie
figuur 2.
De lengte van AP is zo gekozen dat de
inhoud van het deel ADHNK.PQRST
een kwart is van de inhoud van balk
ABCD.EFGH.
5p 6 Bereken de lengte van AP.
HA-1025-a-12-1-o 3 lees verder ►►►
, CO2
Sinds 1870 meet men de CO 2-concentratie in de atmosfeer. De
CO2-concentratie wordt uitgedrukt in parts per million (ppm). Dit is het aantal
CO2-deeltjes per miljoen deeltjes. In de figuur kun je zien hoe de
CO2-concentratie in de atmosfeer is veranderd in de periode 1870-2000. Deze
figuur is vergroot op de uitwerkbijlage weergegeven.
figuur
In het jaar 1900 veronderstelde de latere Nobelprijswinnaar Arrhenius dat de
lineaire groei van de CO 2-concentratie zoals die toen al sinds 1880 optrad, zich
op dezelfde manier zou voortzetten. Hij voorspelde hiermee hoeveel de
CO2-concentratie tussen 1900 en 2000 zou toenemen. De toename zoals die
door Arrhenius is voorspeld, is veel kleiner dan de werkelijke toename tussen
1900 en 2000.
3p 7 Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage hoeveel ppm de door
Arrhenius voorspelde toename te klein uitviel.
Na 1930 steeg de CO 2-concentratie sneller dan Arrhenius in 1900 had
aangenomen. Een model dat beter past bij de gegevens van 1930 tot 2000 gaat
uit van een natuurlijk niveau in de CO 2-concentratie met daar bovenop een
bijdrage van de mens aan de CO2-concentratie, de zogeheten menselijke
component. Wetenschappers hebben kunnen vaststellen dat het natuurlijke
niveau al eeuwen rond de 285 ppm schommelt. Voor de menselijke component
vanaf 1930 wordt in het model uitgegaan van exponentiële groei.
In 1930 bedroeg de CO2-concentratie 300 ppm. Hiervan was 285 ppm het
natuurlijke niveau en 15 ppm de menselijke component. In 2000 was de CO2-
concentratie gestegen tot 370 ppm. Met behulp van deze gegevens kun je
berekenen met hoeveel procent de menselijke component elke 10 jaar volgens
het model toeneemt.
4p 8 Bereken deze procentuele toename per 10 jaar. Rond je antwoord af op een
geheel aantal procenten.
HA-1025-a-12-1-o 4 lees verder ►►►
