Apuntes ecuaciones diferenciales

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Ecuaciones Diferenciales
2𝑦 ′′′ + 3𝑦 ′′ − 𝑦 ′ + 3𝑦 = 𝑥, 𝑦 = 𝑦(𝑥)
𝜕𝑧 𝜕𝑧
Definición 𝜕𝑥
+ 3 𝜕𝑦 = 0 , 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦)

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen una variable
dependiente y sus derivadas con respecto a una o más variables
independientes.
Definición
Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) es aquella que contiene una o varias
derivadas de una función desconocida de una variable, y se quiere
determinarla a partir de la ecuación.
Observaciones
Suele denominarse por 𝑦 = 𝑦(𝑥) a esa función buscada y por 𝑥 la variable
sobre la que se deriva.
En las ecuaciones diferenciales suele usarse indistintamente las notaciones 𝑦 ′
𝑑𝑦
o
𝑑𝑥
Ejemplos
1. 𝑦 ′ = 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝑑2𝑦 𝑑𝑦
2. + 6𝑦 = 3
𝑑𝑥 2 𝑑𝑥
𝑑𝑦
3. = 40𝑦 𝑜 𝑦 ′ = 40𝑦 (𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜)
𝑑𝑡
𝑑𝑦
4. = 3(𝑦 − 60) 𝑜 𝑦 ′ = 3(𝑦 − 60)
𝑑𝑡
(𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑓𝑟𝑖𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛)
5. 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ − 𝑥𝑦 = cos 𝑥

, 2
6. 𝑥 2 𝑦 ′′′ + 2𝑒 𝑥 𝑦 ′′ = (𝑥 2 + 3)𝑦 2
En cambio:
𝜕2𝑧 𝜕2𝑧
+ =0
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2
es una ecuación diferencial en derivadas parciales (EDP), pues en esta ecuación
tenemos una variable dependiente 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) y más de una variable
independiente, en este caso, 𝑥 𝑒 𝑦.
Otros ejemplo de EDP:
𝜕 2 𝑢(𝑥, 𝑡) 1 𝜕 2 𝑢(𝑥, 𝑡)
= 2
𝜕𝑥 2 𝑐 𝜕𝑡 2
𝜕 2 𝑢 𝜕 2 𝑢 𝜕 2 𝑢 1 𝜕𝑢
+ + = 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 𝜕𝑧 2 𝑘 𝜕𝑡
Definición
El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta en la
ecuación.
Ejemplos
𝑦 ′′ + 3𝑦 ′ = 𝑥 + 8 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 2
𝑦 ′′′ + 2(𝑦 ′′ )2 = cos 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 3
𝜕 2 𝑢(𝑥, 𝑡) 1 𝜕 2 𝑢(𝑥, 𝑡)
= 2 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 2
𝜕𝑥 2 𝑐 𝜕𝑡 2
Definición
Una ecuación diferencial ordinaria general de orden 𝑛 se suele escribir en la
forma 𝑦 ′′ + 3𝑦 ′ = 𝑥 + 8

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , ⋯ +(𝑛)
𝑦 ′′, 𝑦 3𝑦)′ −
=𝑥0− 8 = 0
′ ′′
) = 0 o reducida
𝐹(𝑥,forma
aunque otro modo habitual es expresarlo en 𝑦, 𝑦 , 𝑦canónica
Donde 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ ) = 𝑦′′ + 3𝑦′ − 𝑥 − 8
𝑦 (𝑛) = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , ⋯ , 𝑦 (𝑛−1) )
O 𝑦 ′′ = 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′ ) = −3𝑦′ + 𝑥 + 8