Apuntes ecuaciones diferenciales

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Ecuaciones Diferenciales Exactas


Dada una familia de curvas 𝐹 (𝑥, 𝑦) = 𝑐, se puede generar una
ecuación diferencial de primer orden hallando la diferencial total de
la función 𝐹:
𝑑𝐹 (𝑥, 𝑦) = 0
es decir
𝜕𝐹 𝜕𝐹
𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 0
𝜕𝑥 𝜕𝑦
El método en que se basa la resolución de las ecuaciones exactas es
el proceso inverso. Es decir, dada una ecuación diferencial en la
forma:
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
Intentaremos ver si le corresponde una diferencial total de alguna
función de dos variables.
Definición
Una ecuación diferencial de primer orden
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
es exacta en un rectángulo 𝑅 del plano XY si existe una función
𝐹(𝑥, 𝑦) tal que
𝜕𝐹 𝜕𝐹
(𝑥, 𝑦) = 𝑀(𝑥, 𝑦) y (𝑥, 𝑦) = 𝑁(𝑥, 𝑦) ; ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅
𝜕𝑥 𝜕𝑦
El siguiente teorema nos da una condición necesaria y suficiente
para conocer cuándo una ecuación es exacta y su demostración nos

, 2
proporcionará un método para obtener la solución general
𝐹 (𝑥, 𝑦) = 𝑐.
Teorema
Sean 𝑀(𝑥, 𝑦) y 𝑁(𝑥, 𝑦) funciones continuas con derivadas parciales
de primer orden continuas en un rectángulo 𝑅. Entonces, la ecuación
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
es exacta sí y sólo si se verifica
𝜕𝑀 𝜕𝑁
(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦), ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅
𝜕𝑦 𝜕𝑥
Demostración
⇒)
Supongamos que la ecuación
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
es exacta, entonces por definición existe una función 𝐹(𝑥, 𝑦) tal que
𝜕𝐹 𝜕𝐹
(𝑥, 𝑦) = 𝑀(𝑥, 𝑦) y (𝑥, 𝑦) = 𝑁(𝑥, 𝑦)
𝜕𝑥 𝜕𝑦
por tanto
𝜕 2 𝐹 (𝑥, 𝑦) 𝜕𝑀(𝑥, 𝑦) 𝜕 2 𝐹(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑁 (𝑥, 𝑦)
= 𝑦 =
𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥
Puesto que las primeras derivadas parciales de 𝑀 y 𝑁 son continuas
en 𝑅, también lo son las derivadas parciales segundas mixtas de 𝐹,
por tanto, éstas son iguales y se tienen que
𝜕𝑀 (𝑥, 𝑦) 𝜕𝑁(𝑥, 𝑦)
= , ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅
𝜕𝑦 𝜕𝑥