KANSREKENING EN
STATISTIEK
Jan van de Craats
68.3% 95.4%
µ−σ µ+σ µ − 2σ µ + 2σ
99.7%
µ − 3σ µ + 3σ
Collegedictaat – augustus 2002
, Inhoudsopgave
1 Kansen en kansmodellen 1
1.1 Introductie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Discrete kansmodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Rekenen met gebeurtenissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Onafhankelijkheid en voorwaardelijke kansen . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 De regel van Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Continue kansmodellen 13
2.1 Van discrete naar continue kansmodellen . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Verdelingsfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Kansdichtheidsfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 De normale verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Stochastische variabelen 27
3.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Discrete stochastische variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.1 De binomiale verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Continue stochastische variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 Verwachting en variantie 37
4.1 De verwachting van een discrete stochastische variabele . . . . . . . 37
4.2 De verwachting van een continue stochastische variabele . . . . . . . 40
4.3 Variantie en standaardafwijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5 De Centrale Limietstelling 47
5.1 Sommen
√ en gemiddelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 De n-wetten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 De Centrale Limietstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4 Normale benaderingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6 Schatten en Toetsen 53
6.1 Schattingstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.1.1 Witte en zwarte ballen in een vaas . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.1.2 Onbetrouwbaarheidsdrempels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1.3 Schatten van verwachtingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2 Het toetsen van hypothesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2.1 Twee soorten fouten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2.2 Criteria voor het verwerpen van de nulhypothese . . . . . . . 58
6.2.3 Toelaatbaarheidsintervallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A Gemengde opgaven 63
B Uitwerkingen van de opgaven 65
C Formules 77
, Hoofdstuk 1
Kansen en kansmodellen
1.1 Introductie
In het dagelijks leven hebben we het vaak over kansen, bijvoorbeeld
1 de kans op regen of zon,
2 de kans op kruis of munt bij het opgooien van een geldstuk,
3 de kans op het winnen van een hoofdprijs in de Staatsloterij,
4 de kans dat een vliegtuig neerstort,
5 de kans op een jaar lang schadevrij autorijden,
6 de kans op genezing dankzij het gebruik van een bepaald
medicijn,
7 de kans op een overstroming als de rivierdijken op delta-
hoogte zijn gebracht,
8 de kans dat het record op de 10 kilometer sneuvelt op het
eerstkomende WK schaatsen,
9 de kans op het aftreden van een minister naar aanleiding
van een geruchtmakende politieke affaire,
10 de kans op escalatie van een diplomatiek incident tot een
gewapend conflict.
In al deze gevallen gaat het om verwachtingen die men koestert over mogelijke
gebeurtenissen in de toekomst. Welke gebeurtenis daadwerkelijk zal optreden is on-
zeker. Maar naast deze overeenkomst zijn er ook verschillen. Neem de voorbeelden
1 en 2. Die verschillen hemelsbreed. In voorbeeld 1 hebben we geen helder idee
wat er met ‘kans’ bedoeld wordt. Is dat de kans op regenval, van hoe korte duur
ook, binnen een etmaal ? En geldt hetzelfde voor de kans op zon? Zijn regen en
zon categorieën die elkaar uitsluiten? Zijn ze ‘uitputtend’, dat wil zeggen, zijn er
geen andere toestanden dan regen en zon? En valt er iets zinnigs te zeggen over
de grootte van de kans? Vergeleken met voorbeeld 1 is voorbeeld 2 veel minder
problematisch. Om te beginnen hebben we hier ogenblikkelijk een idee – in ieder
geval intuı̈tief – wat er met ‘kans’ bedoeld wordt. Kruis en munt zijn categorieën
die elkaar uitsluiten en hun uitputtendheid is evident: bij het tossen met een munt
is er geen derde mogelijkheid. Ook de grootte van de kansen is niet problematisch:
als men aanneemt dat er niet met de munt geknoeid is, zal men veronderstellen dat
de kans op kruis net zo groot is als de kans op munt. Omdat de twee kansen samen 1
zijn (of honderd procent, maar dat is hetzelfde) luidt de conclusie dat beide kansen
gelijk moeten zijn aan een half.
Van het begin van het rijtje stappen we over naar het eind ervan, en beschouwen
de laatste twee voorbeelden. Daarbij is het duidelijk dat het in beide gevallen
gaat om twee mogelijke gebeurtenissen die elkaar uitsluiten en die uitputtend zijn.
De minister treedt af of niet; het incident escaleert of niet. En in beide gevallen
, 2 Kansen en kansmodellen
geldt: andere mogelijkheden zijn er niet. Anderzijds hebben beide voorbeelden
ook een problematische kant. We hebben namelijk geen idee van de grootte van
de betreffende kans, behalve dan dat die klein zal zijn. Immers, ministers treden
meestal niet af en de meeste diplomatieke incidenten escaleren niet. Maar verder
komen we niet.
1.2 Discrete kansmodellen
Wat maakt nu dat sommige uitspraken waarin kansen voorkomen slechts slagen
in de lucht zijn, terwijl andere als verantwoord gelden? Wij zullen een uitspraak
over kansen slechts verantwoord noemen als er een wiskundig model achter zit.
wiskundig model Niet alle situaties waarin men over kansen spreekt, laten zich echter gemakkelijk in
wiskundige modellen vertalen.
In dit hoofdstuk gaan we in op een aantal voorbeelden waarin wiskundig modelleer-
bare kansen centraal staan. In de loop van die bespreking komen relevante aspecten
die in het voorgaande op intuı̈tief niveau werden aangestipt uitgebreider terug, en
tegen het einde ook in een meer formeel kader.
Voorbeeld 1.1 Het gooien met een dobbelsteen
Een van de schoolvoorbeelden uit de kansrekening is het gooien met
een dobbelsteen. Als uitkomst van zo’n ‘kansexperiment’ nemen we het
aantal ogen dat na het werpen boven ligt; de mogelijke uitkomsten zijn
kansexperiment dus de getallen 1 tot en met 6. We kunnen het experiment net zo vaak
herhalen als we willen, en zo een rij uitkomsten genereren, bijvoorbeeld
3, 1, 6, 6, 2, 4, 1, 5, 3, . . .
In een concreet geval kennen we de uitkomst van het experiment niet
voordat we het gedaan hebben. Toch zijn er wel verstandige dingen over
te zeggen. Basis daarvoor is een wiskundig model.
Wanneer we een wiskundig model willen construeren van het werpen
uitkomstenruimte met een dobbelsteen, beginnen we met een uitkomstenruimte U , die
model staat voor de verzameling van de mogelijke uitkomsten van het
experiment. In dit geval ligt het voor de hand om U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
te nemen. Vervolgens willen we aan elke uitkomst een kans toekennen.
Men zal in het geval van de dobbelsteen meestal aannemen dat het ding
volkomen homogeen van samenstelling is en een kubusvorm heeft die bij
alle hoeken op dezelfde wijze is afgerond. Het ligt dan voor de hand
om in het model aan de zes uitkomsten dezelfde kans toe te kennen. In
het model hebben we het dan over een zuivere dobbelsteen. Is de echte
dobbelsteen waarmee gegooid wordt niet homogeen van samenstelling,
dan kan het voorkomen dat het wiskundige model van de zuivere dobbel-
steen niet goed toepasbaar is. Voor een passend model moet men dan
verschillende kansen voor de afzonderlijke uitkomsten nemen. Welke?
Dat is dan natuurlijk de vraag.
Bij het dobbelsteenexperiment kan men ook uitkomsten samen nemen,
en bijvoorbeeld spreken over de kans op een even uitkomst. De even
uitkomsten vormen de deelverzameling E = {2, 4, 6} van de uitkomsten-
ruimte U . Het is gebruikelijk om zo’n deelverzameling van U met de
gebeurtenis algemene term gebeurtenis aan te duiden. Iedere uitkomst op zichzelf
kan men ook opvatten als een deelverzameling van U, en dus is iedere
uitkomst ook een gebeurtenis. We noemen uitkomsten in dit verband
STATISTIEK
Jan van de Craats
68.3% 95.4%
µ−σ µ+σ µ − 2σ µ + 2σ
99.7%
µ − 3σ µ + 3σ
Collegedictaat – augustus 2002
, Inhoudsopgave
1 Kansen en kansmodellen 1
1.1 Introductie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Discrete kansmodellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Rekenen met gebeurtenissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Onafhankelijkheid en voorwaardelijke kansen . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 De regel van Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Continue kansmodellen 13
2.1 Van discrete naar continue kansmodellen . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Verdelingsfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Kansdichtheidsfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 De normale verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Stochastische variabelen 27
3.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Discrete stochastische variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.1 De binomiale verdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Continue stochastische variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4 Verwachting en variantie 37
4.1 De verwachting van een discrete stochastische variabele . . . . . . . 37
4.2 De verwachting van een continue stochastische variabele . . . . . . . 40
4.3 Variantie en standaardafwijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5 De Centrale Limietstelling 47
5.1 Sommen
√ en gemiddelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 De n-wetten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3 De Centrale Limietstelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4 Normale benaderingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6 Schatten en Toetsen 53
6.1 Schattingstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.1.1 Witte en zwarte ballen in een vaas . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.1.2 Onbetrouwbaarheidsdrempels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.1.3 Schatten van verwachtingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.2 Het toetsen van hypothesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2.1 Twee soorten fouten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2.2 Criteria voor het verwerpen van de nulhypothese . . . . . . . 58
6.2.3 Toelaatbaarheidsintervallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
A Gemengde opgaven 63
B Uitwerkingen van de opgaven 65
C Formules 77
, Hoofdstuk 1
Kansen en kansmodellen
1.1 Introductie
In het dagelijks leven hebben we het vaak over kansen, bijvoorbeeld
1 de kans op regen of zon,
2 de kans op kruis of munt bij het opgooien van een geldstuk,
3 de kans op het winnen van een hoofdprijs in de Staatsloterij,
4 de kans dat een vliegtuig neerstort,
5 de kans op een jaar lang schadevrij autorijden,
6 de kans op genezing dankzij het gebruik van een bepaald
medicijn,
7 de kans op een overstroming als de rivierdijken op delta-
hoogte zijn gebracht,
8 de kans dat het record op de 10 kilometer sneuvelt op het
eerstkomende WK schaatsen,
9 de kans op het aftreden van een minister naar aanleiding
van een geruchtmakende politieke affaire,
10 de kans op escalatie van een diplomatiek incident tot een
gewapend conflict.
In al deze gevallen gaat het om verwachtingen die men koestert over mogelijke
gebeurtenissen in de toekomst. Welke gebeurtenis daadwerkelijk zal optreden is on-
zeker. Maar naast deze overeenkomst zijn er ook verschillen. Neem de voorbeelden
1 en 2. Die verschillen hemelsbreed. In voorbeeld 1 hebben we geen helder idee
wat er met ‘kans’ bedoeld wordt. Is dat de kans op regenval, van hoe korte duur
ook, binnen een etmaal ? En geldt hetzelfde voor de kans op zon? Zijn regen en
zon categorieën die elkaar uitsluiten? Zijn ze ‘uitputtend’, dat wil zeggen, zijn er
geen andere toestanden dan regen en zon? En valt er iets zinnigs te zeggen over
de grootte van de kans? Vergeleken met voorbeeld 1 is voorbeeld 2 veel minder
problematisch. Om te beginnen hebben we hier ogenblikkelijk een idee – in ieder
geval intuı̈tief – wat er met ‘kans’ bedoeld wordt. Kruis en munt zijn categorieën
die elkaar uitsluiten en hun uitputtendheid is evident: bij het tossen met een munt
is er geen derde mogelijkheid. Ook de grootte van de kansen is niet problematisch:
als men aanneemt dat er niet met de munt geknoeid is, zal men veronderstellen dat
de kans op kruis net zo groot is als de kans op munt. Omdat de twee kansen samen 1
zijn (of honderd procent, maar dat is hetzelfde) luidt de conclusie dat beide kansen
gelijk moeten zijn aan een half.
Van het begin van het rijtje stappen we over naar het eind ervan, en beschouwen
de laatste twee voorbeelden. Daarbij is het duidelijk dat het in beide gevallen
gaat om twee mogelijke gebeurtenissen die elkaar uitsluiten en die uitputtend zijn.
De minister treedt af of niet; het incident escaleert of niet. En in beide gevallen
, 2 Kansen en kansmodellen
geldt: andere mogelijkheden zijn er niet. Anderzijds hebben beide voorbeelden
ook een problematische kant. We hebben namelijk geen idee van de grootte van
de betreffende kans, behalve dan dat die klein zal zijn. Immers, ministers treden
meestal niet af en de meeste diplomatieke incidenten escaleren niet. Maar verder
komen we niet.
1.2 Discrete kansmodellen
Wat maakt nu dat sommige uitspraken waarin kansen voorkomen slechts slagen
in de lucht zijn, terwijl andere als verantwoord gelden? Wij zullen een uitspraak
over kansen slechts verantwoord noemen als er een wiskundig model achter zit.
wiskundig model Niet alle situaties waarin men over kansen spreekt, laten zich echter gemakkelijk in
wiskundige modellen vertalen.
In dit hoofdstuk gaan we in op een aantal voorbeelden waarin wiskundig modelleer-
bare kansen centraal staan. In de loop van die bespreking komen relevante aspecten
die in het voorgaande op intuı̈tief niveau werden aangestipt uitgebreider terug, en
tegen het einde ook in een meer formeel kader.
Voorbeeld 1.1 Het gooien met een dobbelsteen
Een van de schoolvoorbeelden uit de kansrekening is het gooien met
een dobbelsteen. Als uitkomst van zo’n ‘kansexperiment’ nemen we het
aantal ogen dat na het werpen boven ligt; de mogelijke uitkomsten zijn
kansexperiment dus de getallen 1 tot en met 6. We kunnen het experiment net zo vaak
herhalen als we willen, en zo een rij uitkomsten genereren, bijvoorbeeld
3, 1, 6, 6, 2, 4, 1, 5, 3, . . .
In een concreet geval kennen we de uitkomst van het experiment niet
voordat we het gedaan hebben. Toch zijn er wel verstandige dingen over
te zeggen. Basis daarvoor is een wiskundig model.
Wanneer we een wiskundig model willen construeren van het werpen
uitkomstenruimte met een dobbelsteen, beginnen we met een uitkomstenruimte U , die
model staat voor de verzameling van de mogelijke uitkomsten van het
experiment. In dit geval ligt het voor de hand om U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
te nemen. Vervolgens willen we aan elke uitkomst een kans toekennen.
Men zal in het geval van de dobbelsteen meestal aannemen dat het ding
volkomen homogeen van samenstelling is en een kubusvorm heeft die bij
alle hoeken op dezelfde wijze is afgerond. Het ligt dan voor de hand
om in het model aan de zes uitkomsten dezelfde kans toe te kennen. In
het model hebben we het dan over een zuivere dobbelsteen. Is de echte
dobbelsteen waarmee gegooid wordt niet homogeen van samenstelling,
dan kan het voorkomen dat het wiskundige model van de zuivere dobbel-
steen niet goed toepasbaar is. Voor een passend model moet men dan
verschillende kansen voor de afzonderlijke uitkomsten nemen. Welke?
Dat is dan natuurlijk de vraag.
Bij het dobbelsteenexperiment kan men ook uitkomsten samen nemen,
en bijvoorbeeld spreken over de kans op een even uitkomst. De even
uitkomsten vormen de deelverzameling E = {2, 4, 6} van de uitkomsten-
ruimte U . Het is gebruikelijk om zo’n deelverzameling van U met de
gebeurtenis algemene term gebeurtenis aan te duiden. Iedere uitkomst op zichzelf
kan men ook opvatten als een deelverzameling van U, en dus is iedere
uitkomst ook een gebeurtenis. We noemen uitkomsten in dit verband
