Fourier-theorie en complexe getallen∗
Jan van de Craats (UvA, OU)
1 Introductie
Toen Napoleon Bonaparte zich op 19 mei 1798 met een leger van veertigdui-
zend man te Toulon inscheepte voor een grote expeditie naar Egypte, liet hij
zich vergezellen door prominente kunstenaars en wetenschappers, onder wie
de wiskundigen Gaspard Monge (1746-1818) en Jean-Baptiste Joseph Fourier
(1768-1830). Na een snelle verovering van Egypte op de Engelsen benoemde
Bonaparte Fourier, die getoond had niet alleen over wetenschappelijke maar
ook over bestuurlijke kwaliteiten te beschikken, tot gouverneur van het zuide-
lijke deel van dat land. Napoleons onderneming kreeg echter met tegenslagen
te kampen: op 1 augustus 1798 vernietigde de Engelse admiraal Nelson de
Franse vloot op de rede van Aboekir zodat de Fransen in Egypte opgesloten
zaten. In 1799 keerde Napoleon met een groep getrouwen naar Frankrijk terug
met achterlating van een bezettingsleger, dat echter in 1801 moest capituleren
voor een gezamenlijke strijdmacht van Engelsen en Turken.
Figuur 1: Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830).
∗ Dit is mijn bijdrage aan de syllabus bij de CWI-Vacantiecursus 2005 De schijf van vijf.
1
, Ook Fourier repatrieerde naar Frankrijk waar hij in 1802 tot prefect van het dis-
trict Grenoble benoemd werd, een functie die hij tot 1815 zou blijven vervullen.
In 1808 kreeg hij de titel van baron en in 1816 werd hij lid van de Académie des
Sciences. Daarna wijdde hij zich geheel aan de wetenschap. De publicatie van
zijn hoofdwerk Théorie analytique de la chaleur in 1822 was echter lang tegen-
gehouden door invloedrijke wiskundigen die vonden dat zijn baanbrekende
ideeën niet exact genoeg geformuleerd, laat staan bewezen waren. Toch zou
dit boek een revolutie teweegbrengen in de wiskunde van de negentiende en
de twintigste eeuw en haar toepassingen. Fourieranalyse is een van de ba-
sistechnieken in de theorie van signalen en systemen geworden, en iedereen
die een tv-toestel, een cd-speler of een mobiele telefoon bezit, maakt indirect
gebruik van resultaten waarvoor Fourier de grondslag heeft gelegd.
2 De Théorie analytique de la chaleur
Fourier hield zich echter nauwelijks met signaaltheorie bezig, maar veeleer met
het vraagstuk hoe warmte door vaste lichamen stroomt. Daarnaar was al eer-
der onderzoek gedaan, en bekend was dat de warmtestroom door een homo-
geen isotroop lichaam gehoorzaamt aan de diffusievergelijking
2
∂ v ∂2 v ∂2 v
∂v
=C + + 2
∂t ∂x2 ∂y2 ∂z
voor een zekere constante C. Hierin is v = v(x, y, z, t) de temperatuur van het
lichaam in het punt (x, y, z) op tijdstip t.
z
α
γ
β
O π
−
2
y
x
Figuur 2: De door Fourier bestudeerde oneindige plaat met een temperatuur
van honderd graden in vlak α en nul graden in de vlakken β en γ.
Een van de voorbeelden die Fourier bekeek, was een geı̈dealiseerd lichaam dat
2
Jan van de Craats (UvA, OU)
1 Introductie
Toen Napoleon Bonaparte zich op 19 mei 1798 met een leger van veertigdui-
zend man te Toulon inscheepte voor een grote expeditie naar Egypte, liet hij
zich vergezellen door prominente kunstenaars en wetenschappers, onder wie
de wiskundigen Gaspard Monge (1746-1818) en Jean-Baptiste Joseph Fourier
(1768-1830). Na een snelle verovering van Egypte op de Engelsen benoemde
Bonaparte Fourier, die getoond had niet alleen over wetenschappelijke maar
ook over bestuurlijke kwaliteiten te beschikken, tot gouverneur van het zuide-
lijke deel van dat land. Napoleons onderneming kreeg echter met tegenslagen
te kampen: op 1 augustus 1798 vernietigde de Engelse admiraal Nelson de
Franse vloot op de rede van Aboekir zodat de Fransen in Egypte opgesloten
zaten. In 1799 keerde Napoleon met een groep getrouwen naar Frankrijk terug
met achterlating van een bezettingsleger, dat echter in 1801 moest capituleren
voor een gezamenlijke strijdmacht van Engelsen en Turken.
Figuur 1: Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830).
∗ Dit is mijn bijdrage aan de syllabus bij de CWI-Vacantiecursus 2005 De schijf van vijf.
1
, Ook Fourier repatrieerde naar Frankrijk waar hij in 1802 tot prefect van het dis-
trict Grenoble benoemd werd, een functie die hij tot 1815 zou blijven vervullen.
In 1808 kreeg hij de titel van baron en in 1816 werd hij lid van de Académie des
Sciences. Daarna wijdde hij zich geheel aan de wetenschap. De publicatie van
zijn hoofdwerk Théorie analytique de la chaleur in 1822 was echter lang tegen-
gehouden door invloedrijke wiskundigen die vonden dat zijn baanbrekende
ideeën niet exact genoeg geformuleerd, laat staan bewezen waren. Toch zou
dit boek een revolutie teweegbrengen in de wiskunde van de negentiende en
de twintigste eeuw en haar toepassingen. Fourieranalyse is een van de ba-
sistechnieken in de theorie van signalen en systemen geworden, en iedereen
die een tv-toestel, een cd-speler of een mobiele telefoon bezit, maakt indirect
gebruik van resultaten waarvoor Fourier de grondslag heeft gelegd.
2 De Théorie analytique de la chaleur
Fourier hield zich echter nauwelijks met signaaltheorie bezig, maar veeleer met
het vraagstuk hoe warmte door vaste lichamen stroomt. Daarnaar was al eer-
der onderzoek gedaan, en bekend was dat de warmtestroom door een homo-
geen isotroop lichaam gehoorzaamt aan de diffusievergelijking
2
∂ v ∂2 v ∂2 v
∂v
=C + + 2
∂t ∂x2 ∂y2 ∂z
voor een zekere constante C. Hierin is v = v(x, y, z, t) de temperatuur van het
lichaam in het punt (x, y, z) op tijdstip t.
z
α
γ
β
O π
−
2
y
x
Figuur 2: De door Fourier bestudeerde oneindige plaat met een temperatuur
van honderd graden in vlak α en nul graden in de vlakken β en γ.
Een van de voorbeelden die Fourier bekeek, was een geı̈dealiseerd lichaam dat
2
