Samenvatting De Meetkunde van de Derdegraadsvergelijking - Jan van de Craats, Amsterdam University 2007

Jan van de Craats




De meetkunde van de

derdegraadsvergelijking




22 februari 2007




•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

,Algemene (complexe) derdegraadsvergelijking

z3 − 3a1 z2 + 3a2 z − a3 = 0
met a1, a2, a3 ∈ C
Oplossingen z1, z2, z3
Dan


3a1 = z1 + z2 + z3
3a2 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1
a3 = z1 z2 z3



VRAAG: hoe bepaal je z1, z2 en z3 als a1, a2, a3 gegeven zijn?




•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

,Algemene (complexe) derdegraadsvergelijking

z3 − 3a1 z2 + 3a2 z − a3 = 0
met a1, a2, a3 ∈ C
Oplossingen z1, z2, z3
Dan


3a1 = z1 + z2 + z3
3a2 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1
a3 = z1 z2 z3



Hoe bepaal je z1, z2 en z3 als a1, a2 en a3 gegeven zijn?




•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit

, Algemene derdegraadsvergelijking

z3 − 3a1 z2 + 3a2 z − a3 = 0
Makkelijk oplosbaar (via afgeleide) als er een meervoudige wortel is.
Verder:

z3 − 3a1 z2 + 3a2 z − a3 = (z − a1 )3 + 3(a2 − a21 )z − (a3 − a31 )
dus ook makkelijk oplosbaar als

a2 − a21 = 0
Stel daarom in het vervolg
geen meervoudige wortel
a2 − a21 6= 0




•First •Prev •Next •Last •Go Back •Full Screen •Close •Quit