Bewijzen met coördinaten
Jan van de Craats
(leadtekst)
Zo’n tien jaar geleden meenden sommigen dat ‘redeneren en bewijzen’ meer aandacht
moest krijgen in de schoolwiskunde. Als gevolg hiervan werd in het vwo-profiel Na-
tuur en Techniek de vlakke meetkunde volgens de klassieke axiomatische methodes
van Euclides weer van stal gehaald. Over de resultaten van deze operatie wordt ver-
schillend gedacht. Zo is er veel onvrede over het feit dat deze behandeling van de
meetkunde irrelevant is voor alle vervolgopleidingen waar de B-profielen op voorbe-
reiden, zelfs voor een wiskundestudie. Zou het niet veel beter zijn om de schaarse uren
te vullen met onderwerpen waar het vervolgonderwijs wél wat aan heeft?
Toch blijft de vlakke meetkunde, inclusief bewijzen, een prachtig vak voor liefhebbers,
zeker wanneer je het behandelt op een manier die wél aansluit bij moderne ontwikke-
lingen en toepassingen, betoogt Jan van de Craats.
Laat ik met een voorbeeld beginnen. Een cirkel en een lijn in het euclidische
vlak hebben nul, één of twee punten gemeen. Hoe bewijs je dat? Simpel. Kies
cartesische coördinaten zo, dat de gegeven lijn met de x-as samenvalt en dat
het middelpunt van de gegeven cirkel op de positieve y-as ligt. Dan wordt voor
een zekere r > 0 en een zekere m ≥ 0 de vergelijking van de cirkel gegeven
door x2 + (y − m)2 = r2 . De coördinaten (x, y) van een √ eventueel snijpunt van
die cirkel met de gegeven lijn voldoen dus aan x = ± r2 − m2 , y = 0 en dit
geeft inderdaad nul (als m > r), één (als m = r) of twee (als m < r) snijpunten.
Als er één snijpunt is, is de gegeven lijn de raaklijn aan de cirkel in het raakpunt
(0, 0).
Hiermee is tevens bewezen dat in het geval dat er twee snijpunten zijn, de
bijbehorende koorde loodrecht middendoor wordt gedeeld door de y-as, dat
wil zeggen door de lijn door het middelpunt van de cirkel die loodrecht staat
op de gegeven lijn. En ook dat in het geval dat er precies één snijpunt is, de
raaklijn loodrecht staat op de verbindingslijn van middelpunt en raakpunt. We
hebben drie vliegen geslagen in één klap.
Een tweede voorbeeld. Hoe bewijs je dat de verzameling van alle punten met
gelijke afstand tot twee gegeven punten P en Q gelijk is aan de middelloodlijn
van PQ? Simpel: kies cartesische coördinaten zo, dat P = (a, 0) en Q = (−a, 0).
1
, y
(0, m)
r r
(0, 0) x
Figuur 1: De snijpunten van een lijn en een cirkel.
Dan geldt (zie figuur 2) voor een willekeurig punt X = (x, y) dat
q q
d(X, P) = d(X, Q) ⇐⇒ (x − a)2 + y2 = (x + a)2 + y2
Via kwadrateren en vereenvoudigen leidt dit tot −2ax = 2ax en dus tot x = 0
want 2a = d(P, Q) > 0. Het punt X = (x, y) heeft dus gelijke afstand tot P
en Q dan en slechts dan als x = 0. Dat is de vergelijking van de y-as en dat is
inderdaad de lijn die het lijnstuk PQ loodrecht middendoor deelt. Tevens blijkt
hieruit dat de lijnen PX en QX gelijke hoeken maken met de middelloodlijn als
X op de middelloodlijn ligt.
X = (x, y)
Q P
(-a, 0) (0, 0) (a, 0)
Figuur 2: De middelloodlijn van PQ
Als extraatje kun je op precies dezelfde manier nog bewijzen dat alle punten
in het rechterhalfvlak dichter bij P dan bij Q liggen, en dat alle punten in het
linkerhalfvlak dichter bij Q dan bij P liggen.
2
Jan van de Craats
(leadtekst)
Zo’n tien jaar geleden meenden sommigen dat ‘redeneren en bewijzen’ meer aandacht
moest krijgen in de schoolwiskunde. Als gevolg hiervan werd in het vwo-profiel Na-
tuur en Techniek de vlakke meetkunde volgens de klassieke axiomatische methodes
van Euclides weer van stal gehaald. Over de resultaten van deze operatie wordt ver-
schillend gedacht. Zo is er veel onvrede over het feit dat deze behandeling van de
meetkunde irrelevant is voor alle vervolgopleidingen waar de B-profielen op voorbe-
reiden, zelfs voor een wiskundestudie. Zou het niet veel beter zijn om de schaarse uren
te vullen met onderwerpen waar het vervolgonderwijs wél wat aan heeft?
Toch blijft de vlakke meetkunde, inclusief bewijzen, een prachtig vak voor liefhebbers,
zeker wanneer je het behandelt op een manier die wél aansluit bij moderne ontwikke-
lingen en toepassingen, betoogt Jan van de Craats.
Laat ik met een voorbeeld beginnen. Een cirkel en een lijn in het euclidische
vlak hebben nul, één of twee punten gemeen. Hoe bewijs je dat? Simpel. Kies
cartesische coördinaten zo, dat de gegeven lijn met de x-as samenvalt en dat
het middelpunt van de gegeven cirkel op de positieve y-as ligt. Dan wordt voor
een zekere r > 0 en een zekere m ≥ 0 de vergelijking van de cirkel gegeven
door x2 + (y − m)2 = r2 . De coördinaten (x, y) van een √ eventueel snijpunt van
die cirkel met de gegeven lijn voldoen dus aan x = ± r2 − m2 , y = 0 en dit
geeft inderdaad nul (als m > r), één (als m = r) of twee (als m < r) snijpunten.
Als er één snijpunt is, is de gegeven lijn de raaklijn aan de cirkel in het raakpunt
(0, 0).
Hiermee is tevens bewezen dat in het geval dat er twee snijpunten zijn, de
bijbehorende koorde loodrecht middendoor wordt gedeeld door de y-as, dat
wil zeggen door de lijn door het middelpunt van de cirkel die loodrecht staat
op de gegeven lijn. En ook dat in het geval dat er precies één snijpunt is, de
raaklijn loodrecht staat op de verbindingslijn van middelpunt en raakpunt. We
hebben drie vliegen geslagen in één klap.
Een tweede voorbeeld. Hoe bewijs je dat de verzameling van alle punten met
gelijke afstand tot twee gegeven punten P en Q gelijk is aan de middelloodlijn
van PQ? Simpel: kies cartesische coördinaten zo, dat P = (a, 0) en Q = (−a, 0).
1
, y
(0, m)
r r
(0, 0) x
Figuur 1: De snijpunten van een lijn en een cirkel.
Dan geldt (zie figuur 2) voor een willekeurig punt X = (x, y) dat
q q
d(X, P) = d(X, Q) ⇐⇒ (x − a)2 + y2 = (x + a)2 + y2
Via kwadrateren en vereenvoudigen leidt dit tot −2ax = 2ax en dus tot x = 0
want 2a = d(P, Q) > 0. Het punt X = (x, y) heeft dus gelijke afstand tot P
en Q dan en slechts dan als x = 0. Dat is de vergelijking van de y-as en dat is
inderdaad de lijn die het lijnstuk PQ loodrecht middendoor deelt. Tevens blijkt
hieruit dat de lijnen PX en QX gelijke hoeken maken met de middelloodlijn als
X op de middelloodlijn ligt.
X = (x, y)
Q P
(-a, 0) (0, 0) (a, 0)
Figuur 2: De middelloodlijn van PQ
Als extraatje kun je op precies dezelfde manier nog bewijzen dat alle punten
in het rechterhalfvlak dichter bij P dan bij Q liggen, en dat alle punten in het
linkerhalfvlak dichter bij Q dan bij P liggen.
2
