ALGEBRA I
P. Stevenhagen
2023
,
,INHOUDSOPGAVE ALGEBRA I
1. Wat is algebra? 7
Groepen, ringen en lichamen • Symmetrieën van de ruit • Rekenen modulo 8 • Symmetrieën
van het vierkant • Permutaties van 4 elementen • Ruimtelijke symmetrieën • Opgaven
2. Permutatiegroepen 17
De groepsaxioma’s • Ordes van groepen en elementen • Permutatiegroepen • Cykelnotatie
• Ondergroepen, cyclische groepen • De tekenafbeelding • Puzzeltje van Loyd • Opgaven
3. Symmetrieën van het vlak 31
Vlakke meetkunde • Isometrieën • De orthogonale groep • Vlakke symmetriegroepen • Te-
ken van een isometrie • Meetkunde met complexe getallen • Vlakke transformatiegroepen
• Opgaven
4. Homomorfismen 42
Homomorfismen, isomorfismen, automorfismen • Additieve notatie • Kern en beeld • Injecti-
viteit • Nevenklassen • De isomorfiestelling • Normaaldelers • Quotiëntgroepen • Opgaven
5. Groepswerkingen 56
Kubus- en tetraëdergroep • Baan, stabilisator, dekpunt • Banenformule • Combinatorische
toepassingen • Reguliere werking • Conjugatiewerking • Stelling van Cauchy • Opgaven
6. Gehele getallen 71
Deling met rest • ggd en kgv • Priemgetallen • Eenduidige priemfactorisatie • Ringen • De
ring Z/nZ • Rekenen modulo n • Stellingen van Euler en Fermat • Opgaven
7. Factorisatie en cryptografie. 84
Primaliteit van grote getallen • Factorisatie van grote getallen • Cryptografie • Het RSA-
cryptosysteem • Digitale handtekeningen • Veiligheid van RSA • Discrete logaritmen • Diffie-
Hellman protocol • Opgaven
8. Quotiënten en producten. 95
Ondergroepen onder quotiëntafbeeldingen • Homomorfiestelling • Commutatorondergroep
• Direct product • Semi-direct product • Opgaven
9. Abelse groepen 109
Exacte rijtjes • Splitsen van exacte rijtjes • Vrije abelse groepen • Structuurstelling • De
groep (Z/nZ)∗ • Opgaven
10. Eindige groepen 124
Niet-abelse exacte rijtjes • Classificatie voor eenvoudige groepsordes • Sylow-p-ondergroepen
• Constructie van normaaldelers • Oplosbare groepen • Simpele groepen • Opgaven
Tabel van kleine groepen 138
Literatuurverwijzingen 139
Europese pagina’s 147
Oude tentamens 149
Index 162
, Verschijningsdatum van deze oplage: januari 2023
Postadres van de auteur:
Mathematisch Instituut
Universiteit Leiden
Postbus 9512
2300 RA Leiden
P. Stevenhagen
2023
,
,INHOUDSOPGAVE ALGEBRA I
1. Wat is algebra? 7
Groepen, ringen en lichamen • Symmetrieën van de ruit • Rekenen modulo 8 • Symmetrieën
van het vierkant • Permutaties van 4 elementen • Ruimtelijke symmetrieën • Opgaven
2. Permutatiegroepen 17
De groepsaxioma’s • Ordes van groepen en elementen • Permutatiegroepen • Cykelnotatie
• Ondergroepen, cyclische groepen • De tekenafbeelding • Puzzeltje van Loyd • Opgaven
3. Symmetrieën van het vlak 31
Vlakke meetkunde • Isometrieën • De orthogonale groep • Vlakke symmetriegroepen • Te-
ken van een isometrie • Meetkunde met complexe getallen • Vlakke transformatiegroepen
• Opgaven
4. Homomorfismen 42
Homomorfismen, isomorfismen, automorfismen • Additieve notatie • Kern en beeld • Injecti-
viteit • Nevenklassen • De isomorfiestelling • Normaaldelers • Quotiëntgroepen • Opgaven
5. Groepswerkingen 56
Kubus- en tetraëdergroep • Baan, stabilisator, dekpunt • Banenformule • Combinatorische
toepassingen • Reguliere werking • Conjugatiewerking • Stelling van Cauchy • Opgaven
6. Gehele getallen 71
Deling met rest • ggd en kgv • Priemgetallen • Eenduidige priemfactorisatie • Ringen • De
ring Z/nZ • Rekenen modulo n • Stellingen van Euler en Fermat • Opgaven
7. Factorisatie en cryptografie. 84
Primaliteit van grote getallen • Factorisatie van grote getallen • Cryptografie • Het RSA-
cryptosysteem • Digitale handtekeningen • Veiligheid van RSA • Discrete logaritmen • Diffie-
Hellman protocol • Opgaven
8. Quotiënten en producten. 95
Ondergroepen onder quotiëntafbeeldingen • Homomorfiestelling • Commutatorondergroep
• Direct product • Semi-direct product • Opgaven
9. Abelse groepen 109
Exacte rijtjes • Splitsen van exacte rijtjes • Vrije abelse groepen • Structuurstelling • De
groep (Z/nZ)∗ • Opgaven
10. Eindige groepen 124
Niet-abelse exacte rijtjes • Classificatie voor eenvoudige groepsordes • Sylow-p-ondergroepen
• Constructie van normaaldelers • Oplosbare groepen • Simpele groepen • Opgaven
Tabel van kleine groepen 138
Literatuurverwijzingen 139
Europese pagina’s 147
Oude tentamens 149
Index 162
, Verschijningsdatum van deze oplage: januari 2023
Postadres van de auteur:
Mathematisch Instituut
Universiteit Leiden
Postbus 9512
2300 RA Leiden
