Samenvatting Wiskunde B VWO Hoofdstuk 6 Differentiaalrekening 2020

Hoofdstuk 6 Differentiaalrekening (V4 Wis B) Pagina 1 van 12



PARAGRAAF 6.1 : TOPPEN EN BUIGPUNTEN



LES 1 TOPPEN
Een top is een punt waar de helling gelijk is aan nul.




STAPPENPLAN EXTREMEN / TOPPEN

(1) Los op 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) = 0 (helling is nul in een top)
(2) Schets de grafiek van f met de GR en zet deze op papier
(3) Bepaal de y-coördinaat en geef aan of het een maximum of minimum is




VOORBEELD 1

Gegeven is de formule 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 3 − 24𝑥𝑥 + 2 en 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 2 − 8𝑥𝑥 + 1

a. Bereken de extremen van f.
b. Toon aan dat er bij 𝑥𝑥 = 3 geen extreem is bij de grafiek van 𝑔𝑔.




OPLOSSING 1

a. (1) 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = −6𝑥𝑥 2 + 24 = 0
6𝑥𝑥 2 = 24
𝑥𝑥 2 = 4
𝑥𝑥 = 2 𝑣𝑣 𝑥𝑥 = −2

(2) Schets geeft :


(3) max 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(−2) = 34
min 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(2) = −30



B. Je kunt x =3 invullen in de afgeleide om te kijken of er een top is
𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = 6𝑥𝑥 − 8
𝑓𝑓 ′ (3) = 6 ∙ 3 − 8 = 10 ≠ 0 dus GEEN top

, Hoofdstuk 6 Differentiaalrekening (V4 Wis B) Pagina 2 van 12



LES 2 BUIGPUNT EN BUIGRAAKLIJN



DEFINITIE
• Buigpunt = { Punt waar de helling maximaal of minimaal is }
• Buigpunt berekenen ⇔ 𝑓𝑓’(𝑥𝑥) heeft een top
⇔ 𝑓𝑓’’(𝑥𝑥) = 0
• Buigraaklijn = { Raaklijn in het buigpunt }




VOORBEELD 1

Gegeven is de formule 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 3𝑥𝑥 4 − 12𝑥𝑥 3 + 2

a. Bereken de buigpunten.
b. Bereken de buigraaklijn(en).




OPLOSSING 1

a. 𝑓𝑓 ′ (𝑥𝑥) = 12𝑥𝑥 3 − 36𝑥𝑥 2
𝑓𝑓 ′′ (𝑥𝑥) = 36𝑥𝑥 2 − 72𝑥𝑥 = 0 ⇔ 36𝑥𝑥(𝑥𝑥 − 2) = 0 ⇔ 𝑥𝑥 = 0 𝑣𝑣 𝑥𝑥 = 2
𝑥𝑥 = 0 → 𝑦𝑦 = 2 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 (0,2)
𝑥𝑥 = 2 → 𝑦𝑦 = −46 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 (2, −46)


Controle : Kijk in 𝑓𝑓’(𝑥𝑥). Er is een top bij 𝑥𝑥 = 0 en bij 𝑥𝑥 = 2. Daarom zijn dit twee
buigpunten.

b. Raaklijn in x=0
(1) 𝑎𝑎 = 𝑓𝑓 ′ (0) = 0
(2) 𝑦𝑦 = 2
(3) Raaklijn : 𝑦𝑦 = 2

Raaklijn in x=2
(1) 𝑎𝑎 = 𝑓𝑓 ′ (2) = −48
(2) 𝑦𝑦 = −46
(3) −46 = −48 ∙ 2 + 𝑏𝑏 → 𝑏𝑏 = 50
(4) 𝑦𝑦 = −48𝑥𝑥 + 50