Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen (H5 Wis B) Pagina 1 van 21
PARAGRAAF 10.1 : AFSTANDEN EN HOEKEN
LES 1 : DE ZIJDE – HOOGTEMETHODE
VOORBEELD 1
Gegeven is de figuur hierbeneden. Bereken de zijde HP.
OPLOSSING 1
De zijde-hoogtemethode maakt eigenlijk gebruik van het feit dat je de oppervlakte van een
driehoek kunt bereken met verschillende bases.
1 1
(1) 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 △ 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = × 𝐻𝐻𝐻𝐻 × 𝐻𝐻𝐻𝐻 = × 𝐹𝐹𝐹𝐹 × 𝐻𝐻𝐻𝐻
2 2
(2) Bereken de ontbrekende zijde :
• DF2 = BD2 + BF2
DF2 = 102 + 52 = 125
DF = √125
(3) Vul in en bereken HP :
1 1
𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 △ 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = × 5 × 10 = × √125 × 𝐻𝐻𝐻𝐻
2 2
50
𝐻𝐻𝐻𝐻 =
√125
OPMERKING
Omdat aan beide zijden de half kan worden weggelaten, hoef je die in de berekening niet
mee te nemen (maar maakt het wel duidelijker).
,Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen (H5 Wis B) Pagina 2 van 21
LES 2 : DE SINUS- EN COSINUSREGEL
Er zijn twee belangrijke regels waarmee je in niet-
rechthoekige driehoeken de zijden en hoeken van een
driehoek kunt berekenen.
REGEL 1 : DE SINUSREGEL
• a= BC b=AC c = AB (de letter die er niet in zit)
• ∠𝐴𝐴 = α ∠𝐵𝐵 = 𝛽𝛽 ∠𝐶𝐶 = 𝛾𝛾
• Dan geldt de sinusregel :
𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝒄𝒄
= =
𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬(𝛂𝛂) 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬(𝛃𝛃) 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬(𝜸𝜸)
REGEL 2 : DE COSINUSREGEL
• a= BC b=AC c = AB (de letter die er niet in zit)
• ∠𝐴𝐴 = α ∠𝐵𝐵 = 𝛽𝛽 ∠𝐶𝐶 = 𝛾𝛾
• Dan geldt de cosinusregel :
𝒂𝒂𝟐𝟐 = 𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝒄𝒄𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝒃𝒃𝒃𝒃 ∙ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝜶𝜶)
• Let op : de hoek (α) moet de hoek zijn tegenover de zijde !!!!
, Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen (H5 Wis B) Pagina 3 van 21
VOORBEELD 1
Gegeven is ∆ABC met 𝑏𝑏 = 10, 𝛽𝛽 = 66° en 𝛾𝛾= 73°.
Bereken 𝑎𝑎 en 𝑐𝑐 in één decimaal nauwkeurig.
OPLOSSING 1
𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐
= =
sin 𝛼𝛼 sin 𝛽𝛽 sin 𝛾𝛾
(1) 𝛼𝛼 = 180 – 66 – 73 = 41°
𝑎𝑎 10 𝑐𝑐
(2) = =
sin 41 sin 66 sin 73
10 ∙ sin 41
(3) 𝑎𝑎 = = 7,2
sin 66
10 ∙ sin 73
(4) 𝑐𝑐 = = 10,5
sin 66
VOORBEELD 2
Gegeven is ∆ABC met 𝑎𝑎 = 6, 𝑏𝑏 = 8 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑐𝑐 = 9
Bereken 𝛽𝛽 in graden nauwkeurig.
OPLOSSING 1
𝑏𝑏 2 = 𝑎𝑎2 + 𝑐𝑐 2 − 2𝑎𝑎𝑎𝑎 cos 𝛽𝛽
82 = 62 + 92 − 2 ∙ 6 ∙ 9 ∙ cos 𝛽𝛽
64 = 117 − 108 ∙ cos 𝛽𝛽
108 ∙ cos 𝛽𝛽 = 53
53
cos 𝛽𝛽 =
108
𝛽𝛽 = 61° (cos −1 (53: 108))
PARAGRAAF 10.1 : AFSTANDEN EN HOEKEN
LES 1 : DE ZIJDE – HOOGTEMETHODE
VOORBEELD 1
Gegeven is de figuur hierbeneden. Bereken de zijde HP.
OPLOSSING 1
De zijde-hoogtemethode maakt eigenlijk gebruik van het feit dat je de oppervlakte van een
driehoek kunt bereken met verschillende bases.
1 1
(1) 𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 △ 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = × 𝐻𝐻𝐻𝐻 × 𝐻𝐻𝐻𝐻 = × 𝐹𝐹𝐹𝐹 × 𝐻𝐻𝐻𝐻
2 2
(2) Bereken de ontbrekende zijde :
• DF2 = BD2 + BF2
DF2 = 102 + 52 = 125
DF = √125
(3) Vul in en bereken HP :
1 1
𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 △ 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 = × 5 × 10 = × √125 × 𝐻𝐻𝐻𝐻
2 2
50
𝐻𝐻𝐻𝐻 =
√125
OPMERKING
Omdat aan beide zijden de half kan worden weggelaten, hoef je die in de berekening niet
mee te nemen (maar maakt het wel duidelijker).
,Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen (H5 Wis B) Pagina 2 van 21
LES 2 : DE SINUS- EN COSINUSREGEL
Er zijn twee belangrijke regels waarmee je in niet-
rechthoekige driehoeken de zijden en hoeken van een
driehoek kunt berekenen.
REGEL 1 : DE SINUSREGEL
• a= BC b=AC c = AB (de letter die er niet in zit)
• ∠𝐴𝐴 = α ∠𝐵𝐵 = 𝛽𝛽 ∠𝐶𝐶 = 𝛾𝛾
• Dan geldt de sinusregel :
𝒂𝒂 𝒃𝒃 𝒄𝒄
= =
𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬(𝛂𝛂) 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬(𝛃𝛃) 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬(𝜸𝜸)
REGEL 2 : DE COSINUSREGEL
• a= BC b=AC c = AB (de letter die er niet in zit)
• ∠𝐴𝐴 = α ∠𝐵𝐵 = 𝛽𝛽 ∠𝐶𝐶 = 𝛾𝛾
• Dan geldt de cosinusregel :
𝒂𝒂𝟐𝟐 = 𝒃𝒃𝟐𝟐 + 𝒄𝒄𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝒃𝒃𝒃𝒃 ∙ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄(𝜶𝜶)
• Let op : de hoek (α) moet de hoek zijn tegenover de zijde !!!!
, Hoofdstuk 10 Meetkundige berekeningen (H5 Wis B) Pagina 3 van 21
VOORBEELD 1
Gegeven is ∆ABC met 𝑏𝑏 = 10, 𝛽𝛽 = 66° en 𝛾𝛾= 73°.
Bereken 𝑎𝑎 en 𝑐𝑐 in één decimaal nauwkeurig.
OPLOSSING 1
𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐
= =
sin 𝛼𝛼 sin 𝛽𝛽 sin 𝛾𝛾
(1) 𝛼𝛼 = 180 – 66 – 73 = 41°
𝑎𝑎 10 𝑐𝑐
(2) = =
sin 41 sin 66 sin 73
10 ∙ sin 41
(3) 𝑎𝑎 = = 7,2
sin 66
10 ∙ sin 73
(4) 𝑐𝑐 = = 10,5
sin 66
VOORBEELD 2
Gegeven is ∆ABC met 𝑎𝑎 = 6, 𝑏𝑏 = 8 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑐𝑐 = 9
Bereken 𝛽𝛽 in graden nauwkeurig.
OPLOSSING 1
𝑏𝑏 2 = 𝑎𝑎2 + 𝑐𝑐 2 − 2𝑎𝑎𝑎𝑎 cos 𝛽𝛽
82 = 62 + 92 − 2 ∙ 6 ∙ 9 ∙ cos 𝛽𝛽
64 = 117 − 108 ∙ cos 𝛽𝛽
108 ∙ cos 𝛽𝛽 = 53
53
cos 𝛽𝛽 =
108
𝛽𝛽 = 61° (cos −1 (53: 108))
