Samenvatting Wiskunde B HAVO Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels 2020

Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina 1 van 17



PARAGRAAF 7.1 : LIJNEN EN HOEKEN



LES 1 LIJNEN

DEFINITIES
Je kunt een lijn op verschillende manieren bepalen / opschrijven :

(1) RC - manier 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏
→ Handig als je de rc weet


(2) Lineaire combinatie : 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑐𝑐

→ Is een andere a dan bij versie (1)
→ Vaak makkelijk bij stelsel vergelijkingen oplossen


𝑥𝑥 𝑦𝑦
(3) Assenvergelijking + =1
𝑝𝑝 𝑞𝑞


→ (p , 0) en (0 , q) zijn de snijpunten met de assen.



VOORBEELD 1

Gegeven zijn de punten (0,4) en (6,0).

a. Stel de vergelijking op van deze lijn.
b. Schrijf deze lijn in de vorm 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑐𝑐. Met a, b en c gehele getallen.
c. Bepaal de vergelijking van de lijn in de vorm 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏



OPLOSSING 1
𝑥𝑥 𝑦𝑦
a. + =1
6 4


b. Je kunt de eerste vergelijking ook schrijven als
1
6
𝑥𝑥 + 14𝑦𝑦 = 1
Als je aan beide kanten met 24 (=4∙6) vermenigvuldigd krijg je :
24 ∙ 16𝑥𝑥 + 24 ∙ 16𝑦𝑦 = 24
4𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 24

,Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina 2 van 17


c. Schrijf de laatste vorm als 𝑦𝑦 = :
4𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 24
6𝑦𝑦 = −4𝑥𝑥 + 24
𝑦𝑦 = −46𝑥𝑥 + 4


OPMERKING

Je had dit opgave c ook kunnen oplossen door de rc met twee punten uit te rekenen :
𝛥𝛥𝛥𝛥 0−4 4
𝑎𝑎 = = = − en vervolgens de b berekenen.
𝛥𝛥𝛥𝛥 6−0 6




VOORBEELD 2

Gegeven zijn de lijnen 𝑙𝑙 ∶ 2𝑥𝑥 + 𝑝𝑝𝑝𝑝 = 10 en 𝑘𝑘 ∶ (𝑝𝑝 + 5)𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 𝑞𝑞

a. Voor welke waarde van p (en q) zijn de lijnen evenwijdig
b. Voor welke waarde van p (en q) zijn de lijnen gelijk.

Neem nu 𝑝𝑝 = 2 en 𝑞𝑞 = 19.

c. Los het stelsel op.



OPLOSSING 2

a. Evenwijdig betekent 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑙𝑙 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘
(1) 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑙𝑙 berekenen : 2𝑥𝑥 + 𝑝𝑝𝑝𝑝 = 10
𝑝𝑝𝑝𝑝 = −2𝑥𝑥 + 10
−2 10
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 +
𝑝𝑝 𝑝𝑝



(2) 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘 berekenen : (𝑝𝑝 + 5)𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 𝑞𝑞
3𝑦𝑦 = −(𝑝𝑝 + 5)𝑥𝑥 + 𝑞𝑞
−𝑝𝑝−5 𝑞𝑞
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 +
3 3


−2 −𝑝𝑝−5
(3) 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑙𝑙 = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑘𝑘 :
𝑝𝑝
=
3
𝑝𝑝(−𝑝𝑝 − 5) = −2 ∙ 3
−𝑝𝑝2 − 5𝑝𝑝 = −6
𝑝𝑝2 + 5𝑝𝑝 = 6
𝑝𝑝2 + 5𝑝𝑝 − 6 = 0
(𝑝𝑝 − 1)(𝑝𝑝 + 6) = 0
𝑝𝑝 = 1 𝑣𝑣 𝑝𝑝 = −6 (en q maakt niks uit)

, Hoofdstuk 7 Lijnen en cirkels (V5 Wis B) Pagina 3 van 17




b. Er zijn twee oplossingen voor p. bij elke oplossing moet je de bijbehorende q berekenen :

(1) Neem 𝑝𝑝 = 1. Vul deze in in de vergelijkingen 2𝑥𝑥 + 𝑝𝑝𝑝𝑝 = 10 en (𝑝𝑝 + 5)𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 𝑞𝑞 :


2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 10 en 6𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 𝑞𝑞 { Vermenigvuldig de eerste vergelijking met 3 }
6𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 30 en 6𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 𝑞𝑞
Dus 𝑞𝑞 = 30


(2) Neem 𝑝𝑝 = −6. Vul deze in in de vergelijkingen 2𝑥𝑥 + 𝑝𝑝𝑝𝑝 = 10 en (𝑝𝑝 + 5)𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 𝑞𝑞 :


2𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 = 10 en −𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 𝑞𝑞 { Vermenigvuldig de tweede vergelijking met -2 }
2𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 = 10 en 2𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 = −2𝑞𝑞
Deze zijn gelijk als 𝑞𝑞 = −5


c. Neem 𝑝𝑝 = 2 en 𝑞𝑞 = 19 en vul deze in in de vergelijkingen 2𝑥𝑥 + 𝑝𝑝𝑝𝑝 = 10 en
(𝑝𝑝 + 5)𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 𝑞𝑞 :

2𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 10 × 3
� � �
7𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 19 × 2

6𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 30
�
14𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 38 −
---------------------------
−8𝑥𝑥 = −8 → 𝑥𝑥 = 1

Invullen in de eerste vergelijking geeft
2 ∙ 1 + 2𝑦𝑦 = 10
2𝑦𝑦 = 8
𝑦𝑦 = 4

Dus het snijpunt = (1,4)