Samenvatting Moderne wiskunde - Wiskunde A

Wiskunde samenvatting H5 en H6

Logaritmische rekenregels
𝑔 𝑔
● 𝑙𝑜𝑔(𝑔) = 1 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑔(1) = 0
𝑔 𝑔 𝑔
● 𝑙𝑜𝑔(𝑎) + 𝑙𝑜𝑔(𝑏) = 𝑙𝑜𝑔(𝑎 · 𝑏)
𝑔 𝑔 𝑔 𝑎
● 𝑙𝑜𝑔(𝑎) − 𝑙𝑜𝑔(𝑏) = 𝑙𝑜𝑔( 𝑏 )
𝑔 𝑔 𝑝
● 𝑝· 𝑙𝑜𝑔(𝑎) = 𝑙𝑜𝑔(𝑎 )
𝑔
𝑙𝑜𝑔(𝑎)
● 𝑔 = 𝑎
𝑔 𝑙𝑜𝑔(𝑎)
● 𝑙𝑜𝑔(𝑎) = 𝑙𝑜𝑔 (𝑔)


Exponentieel groeiproces
Het getal waarmee je het oude getal mee moet vermenigvuldigen om een nieuwe
hoeveelheid te krijgen, heet de factor. Er geldt: nieuwe hoeveelheid = factor x oude
hoeveelheid. Bij een exponentieel groeiproces is deze factor constant en heet de
groeifactor. Exponentiële vergelijkingen kun je met de rekenmachine oplossen, maar
ook met logaritmen.
Bijvoorbeeld:
𝑥
7 · 2, 3 = 20
𝑥 20
2, 3 = 7
(denk aan 2 = 6/3)
2,3 20
𝑥= 𝑙𝑜𝑔( 7
) (de exacte oplossing)
20
𝑙𝑜𝑔 ( )
𝑥= 7
𝑙𝑜𝑔 (2,3)
≈ 1,26 (benadering)


Logaritmische functies en verticale asymptoot
𝑔
Functies waarin de vorm 𝑙𝑜𝑔(𝑥) voorkomt, heten logaritmische functies. Het
grondtal g is net als bij exponentiële functies altijd positief, maar geen 1. De grafiek
𝑔
van de functie 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔(𝑥) heeft de lijn 𝑥 = 0 als verticale asymptoot.
Bijvoorbeeld:
Geef de verticale asymptoot en de coördinaten van de x-as bij de formule
2
𝑁 = 1 + 𝑙𝑜𝑔(𝑥 − 1, 5).
De grafiek heeft een verticale asymptoot als 𝑥 − 1, 5 = 0 dus dan moet 𝑥 = 1, 5
zijn.
De grafiek heeft een snijpunt met de x-as als geldt dat 𝑦 = 0. In dit geval is dat:
2 2
1+ 𝑙𝑜𝑔(𝑥 − 1, 5)= 0 ofwel 𝑙𝑜𝑔(𝑥 − 1, 5) = − 1. Logaritme moet worden
−1 1
opgelost: 𝑥 − 1, 5 = 2 𝑒𝑛 𝑑𝑢𝑠 𝑥 − 1, 5 = 2
, dus 𝑥 = 2. Het snijpunt is dan (2 , 0)