UNIDAD 5. TRANSFORMACIONES LINEALES.
Competencia específica de la unidad.
Aplicar las transformaciones lineales y sus propiedades para representarlas mediante una matriz de
dilatación, contracción y rotación.
Competencias genéricas.
Comunicarse en el lenguaje matemático en forma oral y escrita.
Modelar fenómenos y situaciones matemáticas.
Representar e interpretar conceptos en formas diferentes: numérica, geométrica, algebraica, verbal y trascende
Pensamiento lógico, analítico, heurístico y sintético.
Potenciar las habilidades para uso de tecnologías de información.
Resolución de problemas.
Analizar la factibilidad de las soluciones.
Optimizar soluciones.
Toma de decisiones.
Reconocimientos de conceptos o principios integradores.
Argumentar con contundencia y precisión. Procesar e interpretar datos.
Sean V y W dos espacios vectoriales reales. La función T: V W se llama transformación lineal de V en
dos propiedades siguientes son verdaderas para todo μ y v en V y para cualquier α.
1.-T (μ + v) = T (μ) + T (v)
2.-T (αμ) = αT (μ)
,Sean V y W dos espacios vectoriales reales. La función T: V W se llama transformación lineal de V en
dos propiedades siguientes son verdaderas para todo μ y v en V y para cualquier α.
1.-T (μ + v) = T (μ) + T (v)
2.-T (αμ) = αT (μ)
Las transformaciones lineales con frecuencia se denominan operadores lineales.
Se dice que una transformación lineal conserva operaciones porque se obtiene el mismo resul
operaciones de suma y multiplicación escalar se efectúan antes o después de que se aplique la trans
lineal. Aunque las operaciones a ambos lados de la igualdad puede ser diferentes se obtiene
resultado como se muestra en el siguiente esquema.
Suma en W Multiplicación Multiplicación
Suma en V
escalar en V escalar en W
T(μ + v) = T(μ) + T(α) T(αμ) = αT(μ)
i)Se escribe T : VW para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial re
es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.
ii) se escriben indistintamente Tv o T(v), se leen “T de v”.
, Ejemplo 1.
Sea la función T : definida por T , y dados los dos vectores en .
T
T , Es T una transformación lineal?.
verifiquemos si se cumplen las propiedades 1 y 2, anteriormente descritas.
i) Sean los vectores μ y v en , tales que:
μ = y v = , recordando que T(μ + v) = T(μ) + T(α) procedemos ahora a desarrollar:
T(μ + v) =
Desarrollemos ahora
Competencia específica de la unidad.
Aplicar las transformaciones lineales y sus propiedades para representarlas mediante una matriz de
dilatación, contracción y rotación.
Competencias genéricas.
Comunicarse en el lenguaje matemático en forma oral y escrita.
Modelar fenómenos y situaciones matemáticas.
Representar e interpretar conceptos en formas diferentes: numérica, geométrica, algebraica, verbal y trascende
Pensamiento lógico, analítico, heurístico y sintético.
Potenciar las habilidades para uso de tecnologías de información.
Resolución de problemas.
Analizar la factibilidad de las soluciones.
Optimizar soluciones.
Toma de decisiones.
Reconocimientos de conceptos o principios integradores.
Argumentar con contundencia y precisión. Procesar e interpretar datos.
Sean V y W dos espacios vectoriales reales. La función T: V W se llama transformación lineal de V en
dos propiedades siguientes son verdaderas para todo μ y v en V y para cualquier α.
1.-T (μ + v) = T (μ) + T (v)
2.-T (αμ) = αT (μ)
,Sean V y W dos espacios vectoriales reales. La función T: V W se llama transformación lineal de V en
dos propiedades siguientes son verdaderas para todo μ y v en V y para cualquier α.
1.-T (μ + v) = T (μ) + T (v)
2.-T (αμ) = αT (μ)
Las transformaciones lineales con frecuencia se denominan operadores lineales.
Se dice que una transformación lineal conserva operaciones porque se obtiene el mismo resul
operaciones de suma y multiplicación escalar se efectúan antes o después de que se aplique la trans
lineal. Aunque las operaciones a ambos lados de la igualdad puede ser diferentes se obtiene
resultado como se muestra en el siguiente esquema.
Suma en W Multiplicación Multiplicación
Suma en V
escalar en V escalar en W
T(μ + v) = T(μ) + T(α) T(αμ) = αT(μ)
i)Se escribe T : VW para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial re
es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.
ii) se escriben indistintamente Tv o T(v), se leen “T de v”.
, Ejemplo 1.
Sea la función T : definida por T , y dados los dos vectores en .
T
T , Es T una transformación lineal?.
verifiquemos si se cumplen las propiedades 1 y 2, anteriormente descritas.
i) Sean los vectores μ y v en , tales que:
μ = y v = , recordando que T(μ + v) = T(μ) + T(α) procedemos ahora a desarrollar:
T(μ + v) =
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