UNIDAD 4 ESPACIOS VECTORIALES.
Competencia especifica de la unidad.
Comprender el concepto de espacio vectorial como la estructura algebraica que Tere realiza y hace abstra
operaciones que aparecen en diferentes áreas de las matemáticas mediante las propiedades de la adición y m
por un escalar; así mismo, será capaz de contribuir utilizando el álgebra de vectores bases de espacio vecto
determinar la dimensión del espacio correspondiente.
Definición de espacio vectorial.
Sea un campo K de elementos α, β, γ,…..
Sea V un conjunto no vacío de elementos a, b, c,…..
A los elementos de K se les llamará escalares y a los elementos de V, vectores.
Se dice que V es un espacio vectorial sobre K, si se cumplen las siguientes propiedades:
1.-A cada par de elementos a, b en V, se asocia un elemento n V, el cual se llama la suma de a y b y se simbo
2.-A cada α en K y a en V, se asocia un elemento en V, en el cual se llama el producto de α por a y se simbol
operación así definida se llama multiplicación por escalares.
3.-La suma es conmutativa, es decir: a + b = b + a.
4.-La suma es asociativa: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c.
5.-Para cada par elementos a, b en V, existe un elemento x en V, tal que a + x = b.
6.-La multiplicación por escalares es asociativa: α(βa) = (αβ)a.
7.-La multiplicación por escalares es distributiva sobre la en V: α(a + b) = αa + αb.
8.-La multiplicación por escalares es distributiva sobre la suma en K: (α + β)a = αa + βa.
9.-Si 1 es el elemento unitario del campo K y a es un elemento de V, se cumple: 1a = a.
, Si V es un espacio vectorial sobre K y K es el campo de los números complejos, entonces V es un esp
vectorial complejo. Análogamente, si K es un campo de los números reales , entonces, V es un espac
vectorial real.
De la definición de espacio vectorial, se deducen las siguientes propiedades, de fácil verificación.
1.-Existe en V, un elemento llamado el vector cero, simbolizado θ, el cual satisface la relación: a + θ = a, para tod
elemento a en V.
2.-Para todo elemento a de V, existe un elemento en V, simbolizado -a, tal que a + (-a) = θ y recibe el nombre de
aditivo de a.
3.-El vector cero es único.
4.-Para todo elemento a de V, su inverso aditivo es único.
5.-Si 0 es el electo cero del campo K, entonces, para todo elemento a de V, se cumple: 0a = θ.
6.-Para todo escalar α de K, se cumple: αθ = θ.
7.-Sean los elementos α de K y a de V. Si αa = θ entonces α = 0 o a = θ.
Sea el campo K = de los números reales.
Sea V el conjunto formado por todos los pares de elementos de , es decir, V={(a,b) l a,b ∈ }. Definir
igualdad de los vectores u = () y v = () por la relación u = v, o sea, ( ) = () si y solo si .
La suma de vectores u = () y v = () se define así:
u + v = () + () = ( )
Competencia especifica de la unidad.
Comprender el concepto de espacio vectorial como la estructura algebraica que Tere realiza y hace abstra
operaciones que aparecen en diferentes áreas de las matemáticas mediante las propiedades de la adición y m
por un escalar; así mismo, será capaz de contribuir utilizando el álgebra de vectores bases de espacio vecto
determinar la dimensión del espacio correspondiente.
Definición de espacio vectorial.
Sea un campo K de elementos α, β, γ,…..
Sea V un conjunto no vacío de elementos a, b, c,…..
A los elementos de K se les llamará escalares y a los elementos de V, vectores.
Se dice que V es un espacio vectorial sobre K, si se cumplen las siguientes propiedades:
1.-A cada par de elementos a, b en V, se asocia un elemento n V, el cual se llama la suma de a y b y se simbo
2.-A cada α en K y a en V, se asocia un elemento en V, en el cual se llama el producto de α por a y se simbol
operación así definida se llama multiplicación por escalares.
3.-La suma es conmutativa, es decir: a + b = b + a.
4.-La suma es asociativa: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c.
5.-Para cada par elementos a, b en V, existe un elemento x en V, tal que a + x = b.
6.-La multiplicación por escalares es asociativa: α(βa) = (αβ)a.
7.-La multiplicación por escalares es distributiva sobre la en V: α(a + b) = αa + αb.
8.-La multiplicación por escalares es distributiva sobre la suma en K: (α + β)a = αa + βa.
9.-Si 1 es el elemento unitario del campo K y a es un elemento de V, se cumple: 1a = a.
, Si V es un espacio vectorial sobre K y K es el campo de los números complejos, entonces V es un esp
vectorial complejo. Análogamente, si K es un campo de los números reales , entonces, V es un espac
vectorial real.
De la definición de espacio vectorial, se deducen las siguientes propiedades, de fácil verificación.
1.-Existe en V, un elemento llamado el vector cero, simbolizado θ, el cual satisface la relación: a + θ = a, para tod
elemento a en V.
2.-Para todo elemento a de V, existe un elemento en V, simbolizado -a, tal que a + (-a) = θ y recibe el nombre de
aditivo de a.
3.-El vector cero es único.
4.-Para todo elemento a de V, su inverso aditivo es único.
5.-Si 0 es el electo cero del campo K, entonces, para todo elemento a de V, se cumple: 0a = θ.
6.-Para todo escalar α de K, se cumple: αθ = θ.
7.-Sean los elementos α de K y a de V. Si αa = θ entonces α = 0 o a = θ.
Sea el campo K = de los números reales.
Sea V el conjunto formado por todos los pares de elementos de , es decir, V={(a,b) l a,b ∈ }. Definir
igualdad de los vectores u = () y v = () por la relación u = v, o sea, ( ) = () si y solo si .
La suma de vectores u = () y v = () se define así:
u + v = () + () = ( )
