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UNIVERSIDAD NACIONAL DE QUILMES
Depto. de Economía y Administración
Análisis Matemático Aplicado a la Economía- Segundo Parcial – junio 2021

IMPORTANTE: Es fundamental que realices y entregues los desarrollos de los ejercicios para justificar las
respuestas.

1 1 1
1) a) Hallar 𝑓 (𝑥 ) sabiendo que 𝑓 ′(𝑥 ) = 3 + 5𝑥 + 3 . Luego mostrar que para que 𝑓 (1) = 2 (es decir,
√𝑥
1
para que la función pase por el punto 𝑃 (1, 2) ), el valor de la constante “c” es −4 .


1 2
− +1
1 1 11 −1/3 1 𝑥 3 1 𝑥3
𝑓(𝑥 ) = ∫ 3 + 5𝑥 + 3 𝑑𝑥 = ∫ 3 + 5 𝑥 + 𝑥 𝑑𝑥 = 3𝑥 + 5 𝑙𝑛|𝑥 | + 1 + 𝑐 = 3𝑥 + 5 𝑙𝑛|𝑥 | + 2 +𝑐 =
√𝑥 − +1
3 3
1 3 2 1 33
3𝑥 + 𝑙𝑛|𝑥 | + 𝑥 3 + 𝑐 = 3𝑥 + 𝑙𝑛|𝑥 | + √𝑥 2 + 𝑐
5 2 5 2

1 33 1
𝑓 (1) = 3.1 + 𝑙𝑛|1| + √12 + 𝑐 =
5 2 2

1 3 1
3 + .0 + + 𝑐 =
5 2 2

9 1
+𝑐 =
2 2
𝑐 = −4




6𝑥+9 √𝑥
b) Calcular las siguientes integrales usando el método de sustitución: 𝑖) ∫ 2 𝑑𝑥 𝑖𝑖) ∫ 𝑒√𝑥 𝑑𝑥
(𝑥2 +3𝑥+1)

i)
6𝑥 + 9 3(2𝑥 + 3) 3
∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑢 =
(𝑥 2 + 3𝑥 + 1)2 (𝑢)2 𝑢2
1 2
𝑢−2+1 𝑢−1 3 3
3 ∫ 2 𝑑𝑢 = 3 ∫ 𝑢 𝑑𝑢 = 3 +𝑐 =3 +𝑐 = − +𝑐 = − 2 +𝑐
𝑢 −2 + 1 −1 𝑢 𝑥 + 3𝑥 + 1

Sustitución:
𝑢 = 𝑥 2 + 3𝑥 + 1
𝑑𝑢 = (2𝑥 + 3)𝑑𝑥


𝑒 √𝑥 𝑒𝑢
ii) ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑢 2 𝑑𝑢 = 2 ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 2𝑒 𝑢 + 𝑐 = 2𝑒 √𝑥 + 𝑐
√𝑥 √𝑥

, Sustitución:
𝑢 = √𝑥 = 𝑥 1/2
1 1
𝑑𝑢 = 𝑥 2−1 𝑑𝑥
2
1 1
𝑑𝑢 = 𝑥 −2 𝑑𝑥
2
1
2𝑑𝑢 = 𝑥 −2 𝑑𝑥
1
2𝑑𝑢 = 𝑑𝑥
√𝑥



𝑒√𝑥
c) Usar ii) para mostrar que el área encerrada entre la función 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 y el Eje X, con los valores de “x”
√

entre 0 y 4 es: 12,78.




|4 = (2𝑒 ) − (2𝑒 ) = (2𝑒 ) − (2.1) = 2𝑒 − 2 = 12,78..
4 𝑒√𝑥 √𝑥 √4 √0 2 2
Lo que debemos calcular es: ∫0 𝑑𝑥 = 2𝑒
√𝑥 0




2) Utilizando los datos del gráfico, mostrar que el área total es 19,67. Observen que tienen las funciones
en juego expresadas.