Samenvatting Wiskunde voor bedrijfseconomen Send to: Stuvia
Tilburg University, Wiskunde voor Premasters
Wiskunde voor bedrijfseconomen
Literatuur
Wiskunde voor bedrijfseconomen, Hamers, H., B. Kaper en J. Kleppe, Academic Service, ISBN 978 90
395 2676 7
Cursus
Wiskunde voor Premasters 2016
Toets
Midterm, 2016
Stof
Hoofdstuk Stof
Hoofdstuk 1 Alles
Hoofdstuk 2 Alles, behalve 2.3.3
Hoofdstuk 3 Alles
Hoofdstuk 4 4.1 en 4.2
Hoofdstuk 5 Alles behalve 5.2.3 en 5.4
Hoodfstuk 6 Alles
Pagina 1 van 22
Mirte van Schaijk,
November 2016
,Samenvatting Wiskunde voor bedrijfseconomen Send to: Stuvia
Tilburg University, Wiskunde voor Premasters
Inhoud
H1 Functie van één variabele............................................................................................................ 4
1.1 Introductie ............................................................................................................................... 4
1.2 Overzicht van soorten functies................................................................................................ 4
Nulpunt van een functie van één variabele ........................................................................................ 6
Snijpunt van twee functies met één variabele .................................................................................... 7
Ongelijkheden oplossen ...................................................................................................................... 7
1.3.1 Toepassing: Breakeven ........................................................................................................ 8
1.3.2 Toepassing: Marktevenwicht .............................................................................................. 8
H2 Differentiëren van functies van één variabele ............................................................................ 9
2.1 Afgeleide.................................................................................................................................. 9
2.3.1 Toepassing: Marginaliteit .................................................................................................. 11
2.3.2 Toepassing: Elasticiteit ...................................................................................................... 12
H3 Functies van twee variabele ...................................................................................................... 13
3.2 Overzicht van soorten functies.............................................................................................. 13
3.3 Niveaukrommen .................................................................................................................... 13
Toepassing: Nutsfunctie & indifferentiekromme .............................................................................. 14
Toepassing: Moderne portefeuilletheorie ........................................................................................ 14
H4 Differentiëren van functies met twee variabele ....................................................................... 15
4.2.1 Toepassing: partiële marginaliteit ..................................................................................... 15
4.2.1 Toepassing: partiële elasticiteit ......................................................................................... 15
H5 Optimaliseren ............................................................................................................................ 16
5.1 Optimaliseren van functie met een variabele ....................................................................... 16
5.2.1 Toepassing: Marginale outputregel & productregel ..................................................... 17
5.2.2 Toepassing: aanbodfunctie van producent 5.2.2 .......................................................... 17
5.3 Optimaliseren van functie met twee variabele ..................................................................... 18
5.5 Optimaliseren van gebondenextremum problemen ............................................................ 19
5.5.1 Substitutiemethode ........................................................................................................... 19
5.5.2 Eerste-orde criterium ........................................................................................................ 19
5.5.3 Eerste-orde voorwaarde van Lagrange ............................................................................. 19
5.6.1 Nutsmaximalisatie consument .......................................................................................... 19
5.6.2 Kostenminimalisering producent ...................................................................................... 19
5.6.3 Selectie optimale portefeuille ........................................................................................... 19
H6 Oppervlakten en integralen ...................................................................................................... 20
Pagina 2 van 22
Mirte van Schaijk,
November 2016
,Samenvatting Wiskunde voor bedrijfseconomen Send to: Stuvia
Tilburg University, Wiskunde voor Premasters
6.1 Integraal....................................................................................................................................... 20
6.2 Primitiveren ................................................................................................................................. 20
6.3 Oppervlakte en integraal ............................................................................................................. 21
6.4.1 Toepassing: Consumentensurplus..................................................................................... 22
6.4.2 Toepassing: Kansverdeling ................................................................................................ 22
Pagina 3 van 22
Mirte van Schaijk,
November 2016
,Samenvatting Wiskunde voor bedrijfseconomen Send to: Stuvia
Tilburg University, Wiskunde voor Premasters
H1 Functie van één variabele
1.1 Introductie
Belangrijke begrippen worden in de tabel hieronder uitgelegd.
Begrip Uitleg
Functie Geeft een verband weer tussen variabelen
Rekenvoorschrift y(x) Is de functie van variabele x. Voor iedere toegelaten
waarde van x, wordt de functie waarde berekent.
Definitie gebied/domein D De verzamelingen van alle toegelaten waarde van x.
Bereik De verzameling van alle mogelijke functiewaarden.
Restrictie van een functie Een regel waaraan x moet voldoen, voorbeeld: x < 0
Grafiek van een functie Een figuur in een assenstelsel met twee assen
Nulpunt van een functie De oplossing van de vergelijking y(x) = 0
Snijpunt van twee functies Punt waar de grafiek van y(x) snijdt met andere functie.
Variabele x en y
Variabele Benamingen
x Onafhankelijke Verklarende Inputvariabele
y Afhankelijke Te verklaren outputvariabele
1.2 Overzicht van soorten functies
Er worden 5 verschillende soorten functies benoemt in het boek.
Soort functie Voorbeeld
Constante functie 𝑦(𝑥) = 𝑐
Lineaire functie 𝑦(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏
Kwadratische functie 𝑦(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Machtfunctie 𝑦(𝑥) = 𝑥 𝑘
Exponentiële functie 𝑦(𝑥) = 𝑎 𝑥
𝑎
Logaritmische functie 𝑦(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 (𝑥)
𝑦(𝑥) = 𝑙𝑛 (𝑥)
De volgende grafieken horen bij de verschillende functies:
Pagina 4 van 22
Mirte van Schaijk,
November 2016
, Samenvatting Wiskunde voor bedrijfseconomen Send to: Stuvia
Tilburg University, Wiskunde voor Premasters
Constante functie & Lineaire functie:
Geen bijzonderheden. (zie basisregels van Wouter)
Kwadratische functie:
Heeft de abc formule om nulpunt te berekenen.
Machtfunctie:
Machtfuncties hebben extra regels.
Eigenschappen van machtfuncties
1) 𝑥 𝑝 ∗ 𝑥 𝑞 = 𝑥 𝑝+𝑞
2) 𝑥𝑝
= 𝑥 𝑝−𝑞
𝑥𝑞
3) (𝑥 𝑝 )𝑞 = 𝑥 𝑝𝑞
4) 𝑥 𝑝 ∗ 𝑦 𝑝 = (𝑥 ∗ 𝑦)𝑝
5) 𝑥0 = 1
Exponentiële functie
Exponentiële functies hebben extra regels. Lijken op die van de machtfuncties.
Eigenschappen van Exponentiële functies
1) 𝑎 𝑥 ∗ 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥+𝑦
2) 𝑎𝑥
= 𝑎 𝑥−𝑦
𝑎𝑦
3) (𝑎 𝑥 )𝑦 = 𝑎 𝑥𝑦
4) 𝑎 𝑥 ∗ 𝑏 𝑥 = (𝑎 ∗ 𝑏)𝑥
5) 𝑎0 = 1
Logaritmische functie
• 𝑎
𝑙𝑜𝑔 (𝑥)
• a = het grondgetal
• 2
𝑙𝑜𝑔 (8) = 3, want 23 = 8
Natuurlijke logaritme
• Logaritme met het grondgetal 𝑒 wordt de natuurlijke logaritme genoemd: ln(𝑥),
• ln(𝑒) = 1
Grondgetal veranderen
• Je kunt het grondgetal veranderen door de volgende vergelijking
𝑏 log 𝑥
• 𝑎
log 𝑥 = 𝑏 log 𝑎
• Dit moet je ook gebruiken wanneer je het in rekenmachine wilt invullen. Rekenmachine gaat
namelijk standaard uit van 10 log 𝑥
Eigenschappen van logaritmische functies
1) log(𝑥 ∗ 𝑦) = log 𝑥 + log 𝑦
2) 𝑥
𝐿𝑜𝑔 ( ) = log 𝑥 − log 𝑦
𝑦
3) 𝐿𝑜𝑔 𝑥 𝑦 = 𝑦 log 𝑥
4) log 1 = 0
Pagina 5 van 22
Mirte van Schaijk,
November 2016
Tilburg University, Wiskunde voor Premasters
Wiskunde voor bedrijfseconomen
Literatuur
Wiskunde voor bedrijfseconomen, Hamers, H., B. Kaper en J. Kleppe, Academic Service, ISBN 978 90
395 2676 7
Cursus
Wiskunde voor Premasters 2016
Toets
Midterm, 2016
Stof
Hoofdstuk Stof
Hoofdstuk 1 Alles
Hoofdstuk 2 Alles, behalve 2.3.3
Hoofdstuk 3 Alles
Hoofdstuk 4 4.1 en 4.2
Hoofdstuk 5 Alles behalve 5.2.3 en 5.4
Hoodfstuk 6 Alles
Pagina 1 van 22
Mirte van Schaijk,
November 2016
,Samenvatting Wiskunde voor bedrijfseconomen Send to: Stuvia
Tilburg University, Wiskunde voor Premasters
Inhoud
H1 Functie van één variabele............................................................................................................ 4
1.1 Introductie ............................................................................................................................... 4
1.2 Overzicht van soorten functies................................................................................................ 4
Nulpunt van een functie van één variabele ........................................................................................ 6
Snijpunt van twee functies met één variabele .................................................................................... 7
Ongelijkheden oplossen ...................................................................................................................... 7
1.3.1 Toepassing: Breakeven ........................................................................................................ 8
1.3.2 Toepassing: Marktevenwicht .............................................................................................. 8
H2 Differentiëren van functies van één variabele ............................................................................ 9
2.1 Afgeleide.................................................................................................................................. 9
2.3.1 Toepassing: Marginaliteit .................................................................................................. 11
2.3.2 Toepassing: Elasticiteit ...................................................................................................... 12
H3 Functies van twee variabele ...................................................................................................... 13
3.2 Overzicht van soorten functies.............................................................................................. 13
3.3 Niveaukrommen .................................................................................................................... 13
Toepassing: Nutsfunctie & indifferentiekromme .............................................................................. 14
Toepassing: Moderne portefeuilletheorie ........................................................................................ 14
H4 Differentiëren van functies met twee variabele ....................................................................... 15
4.2.1 Toepassing: partiële marginaliteit ..................................................................................... 15
4.2.1 Toepassing: partiële elasticiteit ......................................................................................... 15
H5 Optimaliseren ............................................................................................................................ 16
5.1 Optimaliseren van functie met een variabele ....................................................................... 16
5.2.1 Toepassing: Marginale outputregel & productregel ..................................................... 17
5.2.2 Toepassing: aanbodfunctie van producent 5.2.2 .......................................................... 17
5.3 Optimaliseren van functie met twee variabele ..................................................................... 18
5.5 Optimaliseren van gebondenextremum problemen ............................................................ 19
5.5.1 Substitutiemethode ........................................................................................................... 19
5.5.2 Eerste-orde criterium ........................................................................................................ 19
5.5.3 Eerste-orde voorwaarde van Lagrange ............................................................................. 19
5.6.1 Nutsmaximalisatie consument .......................................................................................... 19
5.6.2 Kostenminimalisering producent ...................................................................................... 19
5.6.3 Selectie optimale portefeuille ........................................................................................... 19
H6 Oppervlakten en integralen ...................................................................................................... 20
Pagina 2 van 22
Mirte van Schaijk,
November 2016
,Samenvatting Wiskunde voor bedrijfseconomen Send to: Stuvia
Tilburg University, Wiskunde voor Premasters
6.1 Integraal....................................................................................................................................... 20
6.2 Primitiveren ................................................................................................................................. 20
6.3 Oppervlakte en integraal ............................................................................................................. 21
6.4.1 Toepassing: Consumentensurplus..................................................................................... 22
6.4.2 Toepassing: Kansverdeling ................................................................................................ 22
Pagina 3 van 22
Mirte van Schaijk,
November 2016
,Samenvatting Wiskunde voor bedrijfseconomen Send to: Stuvia
Tilburg University, Wiskunde voor Premasters
H1 Functie van één variabele
1.1 Introductie
Belangrijke begrippen worden in de tabel hieronder uitgelegd.
Begrip Uitleg
Functie Geeft een verband weer tussen variabelen
Rekenvoorschrift y(x) Is de functie van variabele x. Voor iedere toegelaten
waarde van x, wordt de functie waarde berekent.
Definitie gebied/domein D De verzamelingen van alle toegelaten waarde van x.
Bereik De verzameling van alle mogelijke functiewaarden.
Restrictie van een functie Een regel waaraan x moet voldoen, voorbeeld: x < 0
Grafiek van een functie Een figuur in een assenstelsel met twee assen
Nulpunt van een functie De oplossing van de vergelijking y(x) = 0
Snijpunt van twee functies Punt waar de grafiek van y(x) snijdt met andere functie.
Variabele x en y
Variabele Benamingen
x Onafhankelijke Verklarende Inputvariabele
y Afhankelijke Te verklaren outputvariabele
1.2 Overzicht van soorten functies
Er worden 5 verschillende soorten functies benoemt in het boek.
Soort functie Voorbeeld
Constante functie 𝑦(𝑥) = 𝑐
Lineaire functie 𝑦(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏
Kwadratische functie 𝑦(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Machtfunctie 𝑦(𝑥) = 𝑥 𝑘
Exponentiële functie 𝑦(𝑥) = 𝑎 𝑥
𝑎
Logaritmische functie 𝑦(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 (𝑥)
𝑦(𝑥) = 𝑙𝑛 (𝑥)
De volgende grafieken horen bij de verschillende functies:
Pagina 4 van 22
Mirte van Schaijk,
November 2016
, Samenvatting Wiskunde voor bedrijfseconomen Send to: Stuvia
Tilburg University, Wiskunde voor Premasters
Constante functie & Lineaire functie:
Geen bijzonderheden. (zie basisregels van Wouter)
Kwadratische functie:
Heeft de abc formule om nulpunt te berekenen.
Machtfunctie:
Machtfuncties hebben extra regels.
Eigenschappen van machtfuncties
1) 𝑥 𝑝 ∗ 𝑥 𝑞 = 𝑥 𝑝+𝑞
2) 𝑥𝑝
= 𝑥 𝑝−𝑞
𝑥𝑞
3) (𝑥 𝑝 )𝑞 = 𝑥 𝑝𝑞
4) 𝑥 𝑝 ∗ 𝑦 𝑝 = (𝑥 ∗ 𝑦)𝑝
5) 𝑥0 = 1
Exponentiële functie
Exponentiële functies hebben extra regels. Lijken op die van de machtfuncties.
Eigenschappen van Exponentiële functies
1) 𝑎 𝑥 ∗ 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥+𝑦
2) 𝑎𝑥
= 𝑎 𝑥−𝑦
𝑎𝑦
3) (𝑎 𝑥 )𝑦 = 𝑎 𝑥𝑦
4) 𝑎 𝑥 ∗ 𝑏 𝑥 = (𝑎 ∗ 𝑏)𝑥
5) 𝑎0 = 1
Logaritmische functie
• 𝑎
𝑙𝑜𝑔 (𝑥)
• a = het grondgetal
• 2
𝑙𝑜𝑔 (8) = 3, want 23 = 8
Natuurlijke logaritme
• Logaritme met het grondgetal 𝑒 wordt de natuurlijke logaritme genoemd: ln(𝑥),
• ln(𝑒) = 1
Grondgetal veranderen
• Je kunt het grondgetal veranderen door de volgende vergelijking
𝑏 log 𝑥
• 𝑎
log 𝑥 = 𝑏 log 𝑎
• Dit moet je ook gebruiken wanneer je het in rekenmachine wilt invullen. Rekenmachine gaat
namelijk standaard uit van 10 log 𝑥
Eigenschappen van logaritmische functies
1) log(𝑥 ∗ 𝑦) = log 𝑥 + log 𝑦
2) 𝑥
𝐿𝑜𝑔 ( ) = log 𝑥 − log 𝑦
𝑦
3) 𝐿𝑜𝑔 𝑥 𝑦 = 𝑦 log 𝑥
4) log 1 = 0
Pagina 5 van 22
Mirte van Schaijk,
November 2016
