Samenvatting JR Samenvatting:
Kwantitatieve toepassingen in de bedrijfskunde: H9
Hoofdstuk 9 Wachttijdproblemen
9.1 Grondbegrippen
Om wachttijdproblemen te kunnen analyseren, moet er kennis over komen van hoe en wat.
9.1.1 Aankomstpatroon
Bij de servicefaciliteit of het loket komen de klanten aan, dat aankomstpatroon kan verschillen.
Soms ontstaan er wachtrijen als vorige klanten of diensten uitlopen.
9.1.2 Bedieningstijd
De bedieningstijd per klant verschilt vaak. Het kan goed dat bedieningstijd per klant te
beschouwen is als trekking van een normale verdeling.
9.1.3 Verschillende typen wachtrijen
- Enkelvoudige wachtrij met één loket : 1 loket, klanten één voor één bedienen. (Fig 9.1)
- Enkelvoudige wachtrij met meer loketten : meer loketten, wel één voor éen bedienen (Fig 9.2)
- Meervoudige rij : meerdere loketten en meer dan 1 rij, bv supermarkt kassa (Fig 9.3)
- Wachtrij met meer fasen : per afdeling, weer in nieuwe wachtrij, bv ziekenhuis (Fig 9.4)
De voorrangsregels zijn aangegeven met rijdiscipline. Voorbeeld is FIFO degene die als eerst
binnenkomt als eerste behandeld/bediend zal worden. Zijn verschillende disciplines hiervoor.
Volledig willekeurig klant bedienen/behandelen is RANDOM-rijdiscipline.
, Samenvatting JR Samenvatting:
Kwantitatieve toepassingen in de bedrijfskunde: H9
9.2 Poisson-processen
Een belangrijke verdeling bij wachttijdproblemen komt tot stand door het toepassen van het
Poisson-proces. Dit gebeurt vaak bij grote klantbestanden.
Voor dat proces zijn enkele uitspraken gedaan:
1. Voor een klein gekozen tijdsinterval ∆t wordt verondersteld dat de kans dat er geen klant
binnenkomt binnen dit tijdsinterval wordt gegeven door: P0 (∆t) = 1 - λ ∆t + 0 (∆t)
2. Voor eenzelfde klein gekozen tijdsinterval ∆t geldt dat de kans op precies 1 binnenkomt van
klant gelijk is aan P1 (∆t) = λ ∆t + 0 (∆t)
De kans dat er meer dan 1 binnenkomt in het tijdinterval ∆t is verwaarloosbaar klein.
3. Voor twee los van elkaar liggende tijdsintervallen ∆t1 en ∆t2 zijn de kansen op aankomst van
een klant onderling onafhankelijk
4. De aankomst van klanten is onafhankelijk van de rijlengte die wordt aangetroffen. Dit zit al
verborgen in de constante λ , die niet afhangt van het aantal reeds aanwezige klanten.
Hieruit kan afgeleid worden dat het aantal binnenkomsten k in een gegeven tijdsinterval T
beschouwd kan worden als een kansvariabele die een Poisson-verdeling volgt.
λ T komt hier overeen met de Poisson-parameter µ2.
( λ T ) k -λ T
P(k = k) = e
k!
9.2.2 Tussenaankomsttijd
De tussenaankomsttijd is de lengte van de tijd tussen de aankomst van een tweetal opvolgende
klanten.
De tijd die voorbij gaat voor de volgende klant binnenkomt, is kansvariabele t . Dit is een
continue variabele en kan alle waarden aannemen op het positieve deel van de tijdas.
Als ze volgens Poisson-proces aankomen is er op onregelmatige tijdstippen de binnenkomst van
een nieuwe klant te registreren.
Bij gegeven tijdvak T geldt voor het aantal binnenkomende klanten k voorgaande Poisson-
formule.
De kans dat er in het tijdvak geen enkele klant binnenkomt kan je weten door k = 0 in te vullen.
( λ T ) 0 -λ T
P(k =0 ) = e = e -λ T
0!
Er is te zien dat de kans op 0 binnenkomsten kleiner wordt naarmate het tijdvak T groter is.
Kwantitatieve toepassingen in de bedrijfskunde: H9
Hoofdstuk 9 Wachttijdproblemen
9.1 Grondbegrippen
Om wachttijdproblemen te kunnen analyseren, moet er kennis over komen van hoe en wat.
9.1.1 Aankomstpatroon
Bij de servicefaciliteit of het loket komen de klanten aan, dat aankomstpatroon kan verschillen.
Soms ontstaan er wachtrijen als vorige klanten of diensten uitlopen.
9.1.2 Bedieningstijd
De bedieningstijd per klant verschilt vaak. Het kan goed dat bedieningstijd per klant te
beschouwen is als trekking van een normale verdeling.
9.1.3 Verschillende typen wachtrijen
- Enkelvoudige wachtrij met één loket : 1 loket, klanten één voor één bedienen. (Fig 9.1)
- Enkelvoudige wachtrij met meer loketten : meer loketten, wel één voor éen bedienen (Fig 9.2)
- Meervoudige rij : meerdere loketten en meer dan 1 rij, bv supermarkt kassa (Fig 9.3)
- Wachtrij met meer fasen : per afdeling, weer in nieuwe wachtrij, bv ziekenhuis (Fig 9.4)
De voorrangsregels zijn aangegeven met rijdiscipline. Voorbeeld is FIFO degene die als eerst
binnenkomt als eerste behandeld/bediend zal worden. Zijn verschillende disciplines hiervoor.
Volledig willekeurig klant bedienen/behandelen is RANDOM-rijdiscipline.
, Samenvatting JR Samenvatting:
Kwantitatieve toepassingen in de bedrijfskunde: H9
9.2 Poisson-processen
Een belangrijke verdeling bij wachttijdproblemen komt tot stand door het toepassen van het
Poisson-proces. Dit gebeurt vaak bij grote klantbestanden.
Voor dat proces zijn enkele uitspraken gedaan:
1. Voor een klein gekozen tijdsinterval ∆t wordt verondersteld dat de kans dat er geen klant
binnenkomt binnen dit tijdsinterval wordt gegeven door: P0 (∆t) = 1 - λ ∆t + 0 (∆t)
2. Voor eenzelfde klein gekozen tijdsinterval ∆t geldt dat de kans op precies 1 binnenkomt van
klant gelijk is aan P1 (∆t) = λ ∆t + 0 (∆t)
De kans dat er meer dan 1 binnenkomt in het tijdinterval ∆t is verwaarloosbaar klein.
3. Voor twee los van elkaar liggende tijdsintervallen ∆t1 en ∆t2 zijn de kansen op aankomst van
een klant onderling onafhankelijk
4. De aankomst van klanten is onafhankelijk van de rijlengte die wordt aangetroffen. Dit zit al
verborgen in de constante λ , die niet afhangt van het aantal reeds aanwezige klanten.
Hieruit kan afgeleid worden dat het aantal binnenkomsten k in een gegeven tijdsinterval T
beschouwd kan worden als een kansvariabele die een Poisson-verdeling volgt.
λ T komt hier overeen met de Poisson-parameter µ2.
( λ T ) k -λ T
P(k = k) = e
k!
9.2.2 Tussenaankomsttijd
De tussenaankomsttijd is de lengte van de tijd tussen de aankomst van een tweetal opvolgende
klanten.
De tijd die voorbij gaat voor de volgende klant binnenkomt, is kansvariabele t . Dit is een
continue variabele en kan alle waarden aannemen op het positieve deel van de tijdas.
Als ze volgens Poisson-proces aankomen is er op onregelmatige tijdstippen de binnenkomst van
een nieuwe klant te registreren.
Bij gegeven tijdvak T geldt voor het aantal binnenkomende klanten k voorgaande Poisson-
formule.
De kans dat er in het tijdvak geen enkele klant binnenkomt kan je weten door k = 0 in te vullen.
( λ T ) 0 -λ T
P(k =0 ) = e = e -λ T
0!
Er is te zien dat de kans op 0 binnenkomsten kleiner wordt naarmate het tijdvak T groter is.
