42 1. GETALLEN
Een lineair geordende lichaamsuitbreiding van de reële getallen*
Veel mensen denk bij het tekenen van een getallenlijn (een rechte lijn op het
papier) aan de reële getallen. We kunnen echter nog meer getallen dan de
reële getallen bedenken die zich ook laten representeren door zo’n getallenlijn.
Hieronder geven we een voorbeeld.
Beschouw de verzameling V van alle gebroken functies p(x)/q(x) met p(x)
en q(x) 6= 0 polynomen met coëfficiënten in R. Voorbeelden van elementen in
V zijn:
x2 3 x3 + x2 + 1 2, 34 ⇡
, 7 , en .
2x x 3x6 8 x 1
De reële getallen kun je opvatten als een deelverzameling van V , aangezien je
elk reëel getal r kunt opvatten als de constante functie 1r (oftewel 1r : R ! R
door x 7! 1r ).
Opgave 1.113. (U) Schrijf in de vorm p(x)/q(x).
1 1
a) x+2 + x+3
x2 +2x 7x 1
b) x5 · x+1
x2 +1
c) ( x ) 1
d) De additieve inverse van x35x
+1
e) De multiplicatieve inverse van x2
Je kunt met de elementen van V net zo rekenen als met de reële getallen (m.a.w.
de verzameling V is ook een lichaam). Om er voor te zorgen dat we V kunnen
voorstellen op de getallenlijn moeten we van elk tweetal verschillende elementen
in V zeggen welke het grootst is en welke het kleinst. Dit doen we als volgt:
voor v(x), w(x) 2 V geldt v(x) < w(x) precies dan als er een natuurlijk getal
n bestaat zodat voor alle r 2 R met r > n geldt v(r) < w(r). M.a.w. als de
grafiek van de functie v(x) vanaf een gegeven moment altijd onder de grafiek
van de functie w(x) ligt, dan geldt v(x) < w(x).
Opgave 1.114. (U) Gebruik de hoofdstelling van de algebra om aan te tonen
dat voor elke v, w 2 V geldt v < w, v = w óf v > w.
Opgave 1.115. (U) Plaats op de puntjes het juiste teken: <, >, =.
a) x1 .... 51
x2 7
b) 1000 .... 10
31
2
c) xx+11 .... x 1 1
d) x1 .... 1234 1
e) x1 .... x12
f) x+1
1 .... 1
x 1
Merk op dat het element x1 groter is dan elk reëel getall. Tevens geldt dat x1
kleiner is dan elk positief reëel getal.
Hoewel V een hoop eigenschappen heeft die R ook heeft (beide zijn immers
lineair geordende lichamen), is er toch een zeer belangrijke eigenschap die R
Een lineair geordende lichaamsuitbreiding van de reële getallen*
Veel mensen denk bij het tekenen van een getallenlijn (een rechte lijn op het
papier) aan de reële getallen. We kunnen echter nog meer getallen dan de
reële getallen bedenken die zich ook laten representeren door zo’n getallenlijn.
Hieronder geven we een voorbeeld.
Beschouw de verzameling V van alle gebroken functies p(x)/q(x) met p(x)
en q(x) 6= 0 polynomen met coëfficiënten in R. Voorbeelden van elementen in
V zijn:
x2 3 x3 + x2 + 1 2, 34 ⇡
, 7 , en .
2x x 3x6 8 x 1
De reële getallen kun je opvatten als een deelverzameling van V , aangezien je
elk reëel getal r kunt opvatten als de constante functie 1r (oftewel 1r : R ! R
door x 7! 1r ).
Opgave 1.113. (U) Schrijf in de vorm p(x)/q(x).
1 1
a) x+2 + x+3
x2 +2x 7x 1
b) x5 · x+1
x2 +1
c) ( x ) 1
d) De additieve inverse van x35x
+1
e) De multiplicatieve inverse van x2
Je kunt met de elementen van V net zo rekenen als met de reële getallen (m.a.w.
de verzameling V is ook een lichaam). Om er voor te zorgen dat we V kunnen
voorstellen op de getallenlijn moeten we van elk tweetal verschillende elementen
in V zeggen welke het grootst is en welke het kleinst. Dit doen we als volgt:
voor v(x), w(x) 2 V geldt v(x) < w(x) precies dan als er een natuurlijk getal
n bestaat zodat voor alle r 2 R met r > n geldt v(r) < w(r). M.a.w. als de
grafiek van de functie v(x) vanaf een gegeven moment altijd onder de grafiek
van de functie w(x) ligt, dan geldt v(x) < w(x).
Opgave 1.114. (U) Gebruik de hoofdstelling van de algebra om aan te tonen
dat voor elke v, w 2 V geldt v < w, v = w óf v > w.
Opgave 1.115. (U) Plaats op de puntjes het juiste teken: <, >, =.
a) x1 .... 51
x2 7
b) 1000 .... 10
31
2
c) xx+11 .... x 1 1
d) x1 .... 1234 1
e) x1 .... x12
f) x+1
1 .... 1
x 1
Merk op dat het element x1 groter is dan elk reëel getall. Tevens geldt dat x1
kleiner is dan elk positief reëel getal.
Hoewel V een hoop eigenschappen heeft die R ook heeft (beide zijn immers
lineair geordende lichamen), is er toch een zeer belangrijke eigenschap die R
