Samenvatting Wiskunde: hoofdstuk 9 Exponentiele verbanden

Wiskunde Hoofdstuk 9: Exponentiele verbanden.
9.1.1: Formules bij lineaire en exponentiële groei.
Bij lineaire groei:
- Neemt de hoeveelheid per tijdseenheid met hetzelfde getal toe.
Δy
- Formule: N = at + b. A is de toename per tijdseenheid en ook de richtingscoëfficiënt. Je kunt a berekenen door: of
Δx
d.m.v. twee roosterpunten (let hierbij wel op of de lijn stijgt of daalt, bij daling een (-)). B is de beginwaarde en het snijpunt
met de verticale-as. Je kunt b berekenen door een roosterpunt in te vullen.
- De grafiek is een rechte lijn.
Bij exponentiele groei:
- Wordt de hoeveelheid per tijdseenheid met hetzelfde getal (de groeifactor) vermenigvuldigd.
- Formule: N = b ⋅ gt . B is de beginwaarde. G is de groeifactor, kan je bereken door twee roosterpunten, je deelt de
achterste door de voorste, (NB:NA).
9.1.2: Tabellen bij exponentiele groei.
Jaar 2000 2005 2010 2015 2020
Aantal km 20.000 24.000 29.000 25.000 42.000
Om te weten of hier sprake is van exponentiele groei, bereken je bij de tabel vier quotiënten.
24.000:20.000 = 1.2; 29.000:24.000 = 1.21; 35.000:29.000 = 1.21; 42.000:35.000 = 1.2
Zijn de uitkomsten gelijk, dan mag je uitgaan van exponentiele groei.
1.2 is hier dus de groeifactor per 5 jaar.
Om de formule bij de tabel op te stellen:
Voorbeeld t=0 in 1995  t = 5  n = 20.000  invullen: 20.000 ⋅ 1.2−5 = 8037.55.
9.1.3: Grafieken bij exponentiele groei.
Negatieve groeifactoren komen niet voor, maar de groeifactor kan wel kleiner zijn dan 1. Ook in deze gevallen spreken we
van exponentiele groei, hoewel exponentiele afname of verval ook gebruikt worden. Bij een grafiek van N = b ⋅ gt kun je
dus twee situaties onderscheiden: voor g tussen 0 en 1 is de grafiek afnemend dalend en voor g groter dan 1 is de grafiek
toenemend stijgend.

9.2.1: groeifactor en groeipercentage.
Toename
Van percentage naar groeifactor = 18% +100 = 118 :100 = 1,18.
Van groeifactor naar percentage = 1,18 x100 = 118 -100 = 18%.
Afname
Van percentage naar groeifactor = 100– 18% = 82 :100 = 0,82.
Van groeifactor naar percentage = 0,82 x100 = 82 -100 = 18%
9.2.2: verdubbelingstijd.
- De verdubbelingstijd, is de tijd die nodig is voor de verdubbeling van de hoeveelheid bij exponentiele groei.
- Bij exponentiele groei met groeifactor g vindt je de verdubbelingstijd voor de vergelijking gt = 2 op te lossen. Stel je hebt
t
1.038 = 2. Je voert in GR y1 = 1.038 x en y2 = 2. De optie snijpunt heeft x = 18,58. Het duurt dus 18 jaar en 0,58 x 12 = 7
maanden totdat de hoeveelheid is verdubbeld.
9.2.3: Halveringstijd.
- De halveringstijd is de tijd waarin een hoeveelheid gehalveerd wordt bij exponentiele groei. Is de groeifactor g , dan vind je
de halveringstijd door de vergelijking gt = 0.5 op te lossen.


9.3.1: Groeipercentages omzetten naar een andere tijdseenheid.
- Een hoeveelheid groeit exponentieel met b=100 en g= 3 per uur.
- Per n uur is de groeifactor 3n .
- Per halfuur is de groeifactor 31 /2.
- Bij exponentiele groei gaat het omzetten van een groeipercentage naar een andere
tijdseenheid via groeifactoren
9.3.2: Een formule opstellen bij exponentiele groei.
Is bij een exponentiele groei de hoeveelheid op twee tijdstippen bekend, dan kun je de bijbehorende formule opstellen. Je
berekent eerst de groeifactor per tijdseenheid en vervolgens de beginhoeveelheid.