Análise Complexa e Equações Diferenciais
Cursos: MEBiol MEBiom MEC.
Recurso 2A
15 de Janeiro de 2020. Duração: 90 minutos.
[3.0] 1. Classifique cada afirmação em verdadeira ou falsa, e responda a esta questão
na primeira página da sua prova, indicando V (para verdadeira) e F (para falsa) :
Respostas certas: 0.5. Respostas erradas: −0.15. Outras respostas: 0.
Ou seja, cotação = máximo {respostas certas × 0.5 − respostas erradas × 0.15, 0}.
a) A transformada de Laplace de tet sen t é 2(z − 1)/(z 2 − 2z + 2)2 para Re z > 1.
b) Todas as soluções da equação x′ = x2 + 1 têm domı́nio ]− π2 , π2 [.
c) Existe pelo menos uma matriz A n × n tal que (eAt )′ = A2 eAt para t ∈ R.
2−2(−1)n
d) A série de senos da função 1 em [0, 1] é ∞
P
n=1 nπ sen(nx).
e) A equação (D20 + D)2 x = (D200 + D2 )3 x não tem soluções constantes.
f) A equação (D2 + 1)(D2 + 4)(D4 − 1)x = 0 tem pelo menos uma solução ilimitada.
2. Considere a equação (D3 − D2 − D + 1)x = h(t).
[1.5] a) Determine todas as soluções da equação para h(t) = 0.
[2.5] b) Determine todas as soluções da equação para h(t) = e−t com x(0) = x′ (0) = 0.
3. Considere a matriz
B 0 0 π 0 1
A= , onde B= e C= .
0 C 0 0 −1 0
[2.5] a) Determine eAt .
d
[1.5] b) Determine todas as soluções x(t) da equação x′ = Ax com dt kx(t)k = 0 para t ∈ R.
4. Considere a equação x2 + 2x3 t + (tx + 2x2 t2 )x′ = 0.
[1.5] a) Determine todos os factores integrantes µ(x) e µ(t), caso existam.
[1.5] b) Determine uma solução da equação com x(1) = 1.
[2.5] 5. a) Determine todas as soluções do problema
1 ∂2u
∂u
= − u , t > 0, x ∈ [0, 1],
∂t t ∂x2
∂u (t, 0) = ∂u (t, 1) = 0, t > 0.
∂x ∂x
d 1 1 1
R R
[1.5] b) Verifique que dt 0 u(t, x) dx = − t 0 u(t, x) dx para qualquer solução u(t, x) de classe
C 2 do problema em 5a, sem usar as soluções que determinou.
d
[2.0] 6. Dada uma matriz A n × n, verifique que se dt kx(t)k = 0 para qualquer t ∈ R e qualquer
solução x(t) da equação x = Ax, então hAv, vi + hv, Avi = 0 para qualquer v ∈ Rn (onde
′
h·, ·i é o produto interno usual em Rn ).
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Recurso 2A
15 de Janeiro de 2020. Duração: 90 minutos.
[3.0] 1. Classifique cada afirmação em verdadeira ou falsa, e responda a esta questão
na primeira página da sua prova, indicando V (para verdadeira) e F (para falsa) :
Respostas certas: 0.5. Respostas erradas: −0.15. Outras respostas: 0.
Ou seja, cotação = máximo {respostas certas × 0.5 − respostas erradas × 0.15, 0}.
a) A transformada de Laplace de tet sen t é 2(z − 1)/(z 2 − 2z + 2)2 para Re z > 1.
b) Todas as soluções da equação x′ = x2 + 1 têm domı́nio ]− π2 , π2 [.
c) Existe pelo menos uma matriz A n × n tal que (eAt )′ = A2 eAt para t ∈ R.
2−2(−1)n
d) A série de senos da função 1 em [0, 1] é ∞
P
n=1 nπ sen(nx).
e) A equação (D20 + D)2 x = (D200 + D2 )3 x não tem soluções constantes.
f) A equação (D2 + 1)(D2 + 4)(D4 − 1)x = 0 tem pelo menos uma solução ilimitada.
2. Considere a equação (D3 − D2 − D + 1)x = h(t).
[1.5] a) Determine todas as soluções da equação para h(t) = 0.
[2.5] b) Determine todas as soluções da equação para h(t) = e−t com x(0) = x′ (0) = 0.
3. Considere a matriz
B 0 0 π 0 1
A= , onde B= e C= .
0 C 0 0 −1 0
[2.5] a) Determine eAt .
d
[1.5] b) Determine todas as soluções x(t) da equação x′ = Ax com dt kx(t)k = 0 para t ∈ R.
4. Considere a equação x2 + 2x3 t + (tx + 2x2 t2 )x′ = 0.
[1.5] a) Determine todos os factores integrantes µ(x) e µ(t), caso existam.
[1.5] b) Determine uma solução da equação com x(1) = 1.
[2.5] 5. a) Determine todas as soluções do problema
1 ∂2u
∂u
= − u , t > 0, x ∈ [0, 1],
∂t t ∂x2
∂u (t, 0) = ∂u (t, 1) = 0, t > 0.
∂x ∂x
d 1 1 1
R R
[1.5] b) Verifique que dt 0 u(t, x) dx = − t 0 u(t, x) dx para qualquer solução u(t, x) de classe
C 2 do problema em 5a, sem usar as soluções que determinou.
d
[2.0] 6. Dada uma matriz A n × n, verifique que se dt kx(t)k = 0 para qualquer t ∈ R e qualquer
solução x(t) da equação x = Ax, então hAv, vi + hv, Avi = 0 para qualquer v ∈ Rn (onde
′
h·, ·i é o produto interno usual em Rn ).
