Análise Complexa e Equações Diferenciais
Cursos: MEBiol MEBiom MEC.
Recurso 1A
15 de Janeiro de 2020. Duração: 90 minutos.
[3.0] 1. Classifique cada afirmação em verdadeira ou falsa, e responda a esta questão
na primeira página da sua prova, indicando V (para verdadeira) e F (para falsa) :
Respostas certas: 0.5. Respostas erradas: −0.15. Outras respostas: 0.
Ou seja, cotação = máximo {respostas certas × 0.5 − respostas erradas × 0.15, 0}.
a) A função f (z) = (ez − e1/z )/(z − 1)2 tem um pólo de ordem 1 em z = 1.
b) A função f (z) = ee tem primitiva em C.
z
c) A função f (z) = 1/z 2 tem primitiva em C \ {0}.
P n! tem raio de convergência 1.
d) A série de potências ∞ n=1 n!z
e) A função f (z) = cos z + sen z é limitada em C.
f) A função f (z) = z 4 + iz 2 + 3e é sobrejectiva, ou seja, f (C) = C.
[2.5] 2. Determine todos os valores de a ∈ R tais que u(x, y) = eax sen(ay) + ax é a parte real de
uma função f holomorfa em C e determine f (20) (z) para esses valores de a.
sen z 1 1
3. Considere as funções f (z) = e g(z) = 2 sen .
z4 +z 2 z z
R
[2.5] a) Calcule o integral γ f para γ : [0, 2π] → C dado por γ(t) = 1 + πe2it .
[2.0] b) Classifique a singularidade isolada de f + g em z = 0 e determine os coeficientes dos
termos com expoente negativo da série de Laurent de f + g para 0 < |z| < 1.
R 1
[1.5] c) Calcule o integral γ dz para γ : [0, 2π] → C dado por γ(t) = 1 + (2 + cos2 t)eit .
z
[1.0] d) Verifique que o resı́duo da função h(z) = g(z)g(1/z) na origem é zero.
2z 2 + 1
4. Considere a função f (z) = .
(z 2 + 1)2
[1.0] a) Verifique que existe r > 1 tal que |f (z)| ≤ 3/R2 para z = Reit com R > r e t ∈ [0, π].
R +∞
[2.5] b) Calcule o integral 0 f (x) dx.
[2.0] 5. Determine todos os pontos z = x + iy onde f (x + iy) = x3 y 3 + ix3 y 3 é diferenciável.
R1R1
[2.0] 6. Dada f : C → C holomorfa em C verifique que g(z) = z 2 0 0 sf (stz) ds dt satisfaz g ′′ = f .
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Recurso 1A
15 de Janeiro de 2020. Duração: 90 minutos.
[3.0] 1. Classifique cada afirmação em verdadeira ou falsa, e responda a esta questão
na primeira página da sua prova, indicando V (para verdadeira) e F (para falsa) :
Respostas certas: 0.5. Respostas erradas: −0.15. Outras respostas: 0.
Ou seja, cotação = máximo {respostas certas × 0.5 − respostas erradas × 0.15, 0}.
a) A função f (z) = (ez − e1/z )/(z − 1)2 tem um pólo de ordem 1 em z = 1.
b) A função f (z) = ee tem primitiva em C.
z
c) A função f (z) = 1/z 2 tem primitiva em C \ {0}.
P n! tem raio de convergência 1.
d) A série de potências ∞ n=1 n!z
e) A função f (z) = cos z + sen z é limitada em C.
f) A função f (z) = z 4 + iz 2 + 3e é sobrejectiva, ou seja, f (C) = C.
[2.5] 2. Determine todos os valores de a ∈ R tais que u(x, y) = eax sen(ay) + ax é a parte real de
uma função f holomorfa em C e determine f (20) (z) para esses valores de a.
sen z 1 1
3. Considere as funções f (z) = e g(z) = 2 sen .
z4 +z 2 z z
R
[2.5] a) Calcule o integral γ f para γ : [0, 2π] → C dado por γ(t) = 1 + πe2it .
[2.0] b) Classifique a singularidade isolada de f + g em z = 0 e determine os coeficientes dos
termos com expoente negativo da série de Laurent de f + g para 0 < |z| < 1.
R 1
[1.5] c) Calcule o integral γ dz para γ : [0, 2π] → C dado por γ(t) = 1 + (2 + cos2 t)eit .
z
[1.0] d) Verifique que o resı́duo da função h(z) = g(z)g(1/z) na origem é zero.
2z 2 + 1
4. Considere a função f (z) = .
(z 2 + 1)2
[1.0] a) Verifique que existe r > 1 tal que |f (z)| ≤ 3/R2 para z = Reit com R > r e t ∈ [0, π].
R +∞
[2.5] b) Calcule o integral 0 f (x) dx.
[2.0] 5. Determine todos os pontos z = x + iy onde f (x + iy) = x3 y 3 + ix3 y 3 é diferenciável.
R1R1
[2.0] 6. Dada f : C → C holomorfa em C verifique que g(z) = z 2 0 0 sf (stz) ds dt satisfaz g ′′ = f .
