Exame Análise complexa e cálculo diferencial 18-19

Análise Complexa e Equações Diferenciais
Cursos: MEAer MEBiol MEBiom.

Recurso 2A
16 de Janeiro de 2019. Duração: 90 minutos.
[3.0] 1. Classifique cada afirmação em verdadeira ou falsa, e responda a esta questão
na primeira página da sua prova, indicando V (para verdadeira) e F (para falsa) :

Respostas certas: 0.5. Respostas erradas: −0.15. Outras respostas: 0.
√
a) Para cada c > 0 existe D > 0 tal que e t ≤ Dect para t ≥ 0.
√
b) Uma solução da equação x′ = x é x(t) = t2 /4 com t ∈ R.
√ √
c) Uma solução da equação x′ = 23 (t + 3 x) 3 x é x(t) = t3 com t ∈ R.
d) Uma solução da equação x′ = x log t − log t é x(t) = 1 com t ∈ R.
e) (eAt eBt eAt )′ |t=0 = 2A + B para quaisquer matrizes A e B (ambas n × n).
f) A equação (D2 + 1)(D2 − 1)x = 0 tem pelo menos uma solução par não nula.
2. Considere a equação (D2 − 4)x = et + 2.
[2.6] a) Determine a solução com x(0) = x′ (0) = 0 sem usar transformadas de Laplace.
[2.8] b) Determine a solução com x(0) = 1, x′ (0) = 2 usando transformadas de Laplace.
3. Considere a matriz
 
    2 1 0
A 0 0 1
C= , onde A= e B = 0 2 1 .
0 B −2 3
0 0 2

[2.8] a) Determine eCt .
et
!

[2.0] b) Verifique que a equação z ′ = Az + tem pelo menos uma solução ilimitada.
0
(−1)k 2k
c) Verifique que cos2 A + sen2 A = Id, definindo cos A = ∞
P
[1.5] k=0 (2k)! A e sen A =
P∞ (−1)k 2k+1
k=0 (2k+1)! A (mostra-se que convergem para qualquer matriz quadrada A).
d d
Sugestão: verifique primeiro que dt cos(At) = −A sen(At) e dt sen(At) = A cos(At).
[3.3] 4. Determine uma solução do problema
  2 
∂u ∂ u ∂u
= t + 2 , t ≥ 0, x ∈ [0, 1],


∂x2

 ∂t ∂x

 u(t, 0) = u(t, 1) = 0, t > 0,

u(0, x) = e−x , x ∈ ]0, 1[.

[2.0] 5. Determine o conjunto das funções f : R → R de classe C 1 tais que x′ = f (x) tem pelo
menos uma solução periódica não constante.