Análise Complexa e Equações Diferenciais
Cursos: MEAer MEBiol MEBiom.
Recurso 1A
16 de Janeiro de 2019. Duração: 90 minutos.
1. Classifique cada afirmação em verdadeira ou falsa, e responda a esta questão
[3.0] na primeira página da sua prova, indicando V (para verdadeira) e F (para falsa) :
Respostas certas: 0.5. Respostas erradas: −0.15. Outras respostas: 0.
a) A equação z 4 = −16|z|2 tem exactamente 4 soluções em C.
b) O coeficiente de z 12 na série de Taylor de (ez + e−z )10 centrada em 0 é positivo.
√
c) A função f (x + iy) = 3 xy satisfaz as equações de Cauchy–Riemann na origem.
d) A função f (z) = |sen z| − sen |z| é limitada em C.
e) A função f (z) = iz é limitada em {z ∈ C : Re z > 1}.
n! tem raio de convergência 0.
P
f) A série de potências ∞ n=1 n!z
[2.7] 2. Determine todos os números a ∈ R tais que u(x, y) = ex cos y + ax2 é a parte real de
uma função f holomorfa em C e para esses valores de a determine f em função de z.
[2.5] 3. Determine todos os pontos x + iy onde a função f (x + iy) = xy − ix3 y é diferenciável.
1 1
4. Considere a função f (z) = + sen .
sen z z
[2.7] a) Determine e classifique todas as singularidades isoladas de f .
b) Calcule γ f para o caminho γ : [0, 4π] → C dado por γ(t) = −iπ + 2πeit .
R
[2.6]
z2 z3 z4 z5 z6 z7
5. Considere a série de potências 1 − z + − + 4− + 6− + ···.
22 3! 2 5! 2 7!
[2.5] a) Determine a soma da série g(z) indicando qual o raio de convergência R.
(g(z) − g(−z))3 R
Z
[2.0] b) Calcule 6
dz para o caminho γ : [0, π] → C dado por γ(t) = e2it .
γ z 4
[2.0] 6. Seja f uma função meromorfa em C tal que |f (z)| ≤ |z/(z − 1)|3/2 no domı́nio de f .
Mostre que f = 0 em C. Sugestão: considere a função g(z) = (z − 1)2 f (z) para z 6= 1.
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Recurso 1A
16 de Janeiro de 2019. Duração: 90 minutos.
1. Classifique cada afirmação em verdadeira ou falsa, e responda a esta questão
[3.0] na primeira página da sua prova, indicando V (para verdadeira) e F (para falsa) :
Respostas certas: 0.5. Respostas erradas: −0.15. Outras respostas: 0.
a) A equação z 4 = −16|z|2 tem exactamente 4 soluções em C.
b) O coeficiente de z 12 na série de Taylor de (ez + e−z )10 centrada em 0 é positivo.
√
c) A função f (x + iy) = 3 xy satisfaz as equações de Cauchy–Riemann na origem.
d) A função f (z) = |sen z| − sen |z| é limitada em C.
e) A função f (z) = iz é limitada em {z ∈ C : Re z > 1}.
n! tem raio de convergência 0.
P
f) A série de potências ∞ n=1 n!z
[2.7] 2. Determine todos os números a ∈ R tais que u(x, y) = ex cos y + ax2 é a parte real de
uma função f holomorfa em C e para esses valores de a determine f em função de z.
[2.5] 3. Determine todos os pontos x + iy onde a função f (x + iy) = xy − ix3 y é diferenciável.
1 1
4. Considere a função f (z) = + sen .
sen z z
[2.7] a) Determine e classifique todas as singularidades isoladas de f .
b) Calcule γ f para o caminho γ : [0, 4π] → C dado por γ(t) = −iπ + 2πeit .
R
[2.6]
z2 z3 z4 z5 z6 z7
5. Considere a série de potências 1 − z + − + 4− + 6− + ···.
22 3! 2 5! 2 7!
[2.5] a) Determine a soma da série g(z) indicando qual o raio de convergência R.
(g(z) − g(−z))3 R
Z
[2.0] b) Calcule 6
dz para o caminho γ : [0, π] → C dado por γ(t) = e2it .
γ z 4
[2.0] 6. Seja f uma função meromorfa em C tal que |f (z)| ≤ |z/(z − 1)|3/2 no domı́nio de f .
Mostre que f = 0 em C. Sugestão: considere a função g(z) = (z − 1)2 f (z) para z 6= 1.
