1º Semestre 2020/2021
22 de Janeiro de 2021
(duração 60 minutos)
1º EXAME DE ÁLGEBRA LINEAR
Cursos: MEAer, MEBiol e MEBiom
1. Considere o produto interno usual em R4 , V1 = L({(0, 1, 1, 0), (0, 3, 2, −1), (0, 2, 1, −1)}) e
V2 = {(x, y, z, w) ∈ R4 : y − z + w = 0 e z + 2w = 0}.
(a) (4.0) Calcule dim(V1 ) e indique uma matriz A tal que V1 ∩ V2 = N (A).
(b) (3.0) Calcule dim (V1 + V2 )⊥ .
(c) (2.0) Calcule d((1, 1, 1, 1), V1 + V2 ).
2. Seja T : P2 → P2 a transformação linear cuja representação matricial nas bases ordenadas B1 e B2 é
1 1 1
M (T ; B1 ; B2 ) = 2 2 2 onde B1 = {1, 1 + 2t, −3t2 } e B2 = {1 − t, 1 + t, t2 }.
−3 −3 −3
(a) (2.0) Calcule T (1 + 2t − 3t2 ) e verifique se 1 + 2t − 3t2 é vector próprio de T .
(b) (2.0) Determine uma base para N (T ) e verifique se T é sobrejectiva.
(c) (2.0) Resolva, em P2 , a equação linear T (p(t)) = 1 + t + t2 .
3. (2.0) Seja C matriz n × n antisimétrica. Verifique se a matriz dos cofactores cof(C) é antisimétrica.
4. (3.0) Sejam A e B matrizes definidas positivas tais que AB = BA. Mostre que AB é definida positiva.
FIM
22 de Janeiro de 2021
(duração 60 minutos)
1º EXAME DE ÁLGEBRA LINEAR
Cursos: MEAer, MEBiol e MEBiom
1. Considere o produto interno usual em R4 , V1 = L({(0, 1, 1, 0), (0, 3, 2, −1), (0, 2, 1, −1)}) e
V2 = {(x, y, z, w) ∈ R4 : y − z + w = 0 e z + 2w = 0}.
(a) (4.0) Calcule dim(V1 ) e indique uma matriz A tal que V1 ∩ V2 = N (A).
(b) (3.0) Calcule dim (V1 + V2 )⊥ .
(c) (2.0) Calcule d((1, 1, 1, 1), V1 + V2 ).
2. Seja T : P2 → P2 a transformação linear cuja representação matricial nas bases ordenadas B1 e B2 é
1 1 1
M (T ; B1 ; B2 ) = 2 2 2 onde B1 = {1, 1 + 2t, −3t2 } e B2 = {1 − t, 1 + t, t2 }.
−3 −3 −3
(a) (2.0) Calcule T (1 + 2t − 3t2 ) e verifique se 1 + 2t − 3t2 é vector próprio de T .
(b) (2.0) Determine uma base para N (T ) e verifique se T é sobrejectiva.
(c) (2.0) Resolva, em P2 , a equação linear T (p(t)) = 1 + t + t2 .
3. (2.0) Seja C matriz n × n antisimétrica. Verifique se a matriz dos cofactores cof(C) é antisimétrica.
4. (3.0) Sejam A e B matrizes definidas positivas tais que AB = BA. Mostre que AB é definida positiva.
FIM
