o
Instituto Superior Técnico 1 Semestre 2018/2019
Departamento de Matemática 16 Janeiro 2019
Duração: 90+90 minutos
TESTE DE RECUPERAÇÃO DE ÁLGEBRA LINEAR
MEBiol – MEBiom
I (T1+T2 - 10 valores - 90 minutos)
1. Para cada α ∈ R considere o sistema de equações lineares de variáveis reais cuja matriz aumentada é:
1 2 −2 2
[A|b] = 0 1 0 1 .
2
3 −2 α − 15 α − 5
(a) (1.0) Discuta em termos de α a existência ou não de solução do sistema de equações lineares anterior.
(b) (1.0) Para α = 3, determine o conjunto solução do sistema de equações lineares correspondente.
(c) (0.5) Determine os valores de α para os quais A9 − A8 é invertı́vel.
1 0 0
2. (1.0) Considere a cifra de Hill cuja matriz de descodificação é A−1 = 0 −1 2 . Determine a
0 1 −1
matriz de codificação e encontre o texto inicial se a mensagem cifrada for: 15, 38, 20, 9, 9, 8, 4, 15, 15.
1 −3 0 0 1
−2 0 −1 0 1
−1
−1
3. (1.5) Seja A = −3 −1
2 2 1 . Verifique que A é invertı́vel, calcule A(2,3) e det(det(A)A ).
0 0 −2 0 1
2 0 −1 0 1
4. Considere os subespaços lineares V1 e V2 de R4 :
V1 = L({(1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (1, −2, −2, 1)}), V2 = L({(1, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 1)}).
(a) (1.0) Verifique se (1, 1, 1, 1) ∈ V1 .
(b) (1.0) Encontre uma base para V1 .
(c) (1.0) Encontre uma base de V1 + V2 que contenha uma base de V2 .
(d) (1.0) Calcule dim(V1 ∩ V2 ) e encontre o menor número de equações homogéneas necessárias para
descrever V1 ∩ V2 através dessas equações.
5. (0.5) Sejam A, B matrizes n × n tais que AB = BA. Se A for invertı́vel prove que adj(A)B = B adj(A),
onde adj(A) designa a matriz adjunta de A (transposta da matriz dos cofactores).
6. (0.5) Para cada subconjunto A ⊆ R não vazio seja VA = {f : R → A, f função}. Usando as operações
usuais, identifique os subconjuntos A para os quais VA é um espaço linear real.
A seguinte tabela poderá ser útil no problema 2:
0 =−− , 1 = A, 2 = B, 3 = C, 4 = D, 5 = E, 6 = F, 7 = G, 8 = H, 9 = I, 10 = J, 11 = K, 12 = L, 13 = M
14 = N, 15 = O, 16 = P, 17 = Q, 18 = R, 19 = S, 20 = T, 21 = U, 22 = V, 23 = W, 24 = X, 25 = Y, 26 = Z
1/2
Instituto Superior Técnico 1 Semestre 2018/2019
Departamento de Matemática 16 Janeiro 2019
Duração: 90+90 minutos
TESTE DE RECUPERAÇÃO DE ÁLGEBRA LINEAR
MEBiol – MEBiom
I (T1+T2 - 10 valores - 90 minutos)
1. Para cada α ∈ R considere o sistema de equações lineares de variáveis reais cuja matriz aumentada é:
1 2 −2 2
[A|b] = 0 1 0 1 .
2
3 −2 α − 15 α − 5
(a) (1.0) Discuta em termos de α a existência ou não de solução do sistema de equações lineares anterior.
(b) (1.0) Para α = 3, determine o conjunto solução do sistema de equações lineares correspondente.
(c) (0.5) Determine os valores de α para os quais A9 − A8 é invertı́vel.
1 0 0
2. (1.0) Considere a cifra de Hill cuja matriz de descodificação é A−1 = 0 −1 2 . Determine a
0 1 −1
matriz de codificação e encontre o texto inicial se a mensagem cifrada for: 15, 38, 20, 9, 9, 8, 4, 15, 15.
1 −3 0 0 1
−2 0 −1 0 1
−1
−1
3. (1.5) Seja A = −3 −1
2 2 1 . Verifique que A é invertı́vel, calcule A(2,3) e det(det(A)A ).
0 0 −2 0 1
2 0 −1 0 1
4. Considere os subespaços lineares V1 e V2 de R4 :
V1 = L({(1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (1, −2, −2, 1)}), V2 = L({(1, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 1)}).
(a) (1.0) Verifique se (1, 1, 1, 1) ∈ V1 .
(b) (1.0) Encontre uma base para V1 .
(c) (1.0) Encontre uma base de V1 + V2 que contenha uma base de V2 .
(d) (1.0) Calcule dim(V1 ∩ V2 ) e encontre o menor número de equações homogéneas necessárias para
descrever V1 ∩ V2 através dessas equações.
5. (0.5) Sejam A, B matrizes n × n tais que AB = BA. Se A for invertı́vel prove que adj(A)B = B adj(A),
onde adj(A) designa a matriz adjunta de A (transposta da matriz dos cofactores).
6. (0.5) Para cada subconjunto A ⊆ R não vazio seja VA = {f : R → A, f função}. Usando as operações
usuais, identifique os subconjuntos A para os quais VA é um espaço linear real.
A seguinte tabela poderá ser útil no problema 2:
0 =−− , 1 = A, 2 = B, 3 = C, 4 = D, 5 = E, 6 = F, 7 = G, 8 = H, 9 = I, 10 = J, 11 = K, 12 = L, 13 = M
14 = N, 15 = O, 16 = P, 17 = Q, 18 = R, 19 = S, 20 = T, 21 = U, 22 = V, 23 = W, 24 = X, 25 = Y, 26 = Z
1/2
