Instituto Superior Técnico
Departamento de Matemática
Unidade de Ensino de Álgebra e Análise
Cálculo Diferencial e Integral II
Cursos: MEAmb, MEQ, MEBiol, MEBiom
Exame 1a Época - 14 de Junho de 2021 - 13h
Duração: 2 horas
Resolução abreviada
1. Considere a função dada por
x2 +y2
e −1
, (x, y) 6= (0, 0)
p
f (x, y) = x + y2
2
0, (x, y) = (0, 0)
(2 val.) (a) Mostre que f é contı́nua na origem.
Resolução: f é contı́nua na origem sse
lim f (x, y) = f (0, 0) = 0.
(x,y)→(0,0)
Temos
2 2 2 2
ex +y − 1 ex +y − 1 p
lim p = lim 2 2
· lim x2 + y 2 = 0,
(x,y)→(0,0) 2
x +y 2 (x,y)→(0,0) x + y (x,y)→(0,0)
eu − 1
pois lim = 1.
u→0 u
(1 val.) (b) Diga, justificando, se f é diferenciável na origem.
Resolução: Para mostrar que f não é diferenciável na origem, basta mostrar que as deri-
vadas parciais não existem na origem. Temos
2
∂f f (h, 0) − f (0, 0) eh − 1
(0, 0) = lim = lim ,
∂x h→0 h h→0 h|h|
e o último limite não existe, por ter limites laterais diferentes.
(3 val.) 2. Determine e classifique os pontos de estacionaridade da função g(x, y) = 3y 2 − 3xy + x3 .
Resolução: A equação vectorial,
∇g(x, y) = (−3y + 3x2 , 6y − 3x) = (0, 0)
tem as soluções (x, y) = (0, 0) e (x, y) = ( 12 , 14 ), logo estes são os pontos estacionários de g.
A matriz hessiana de g é:
6x −3
Hg (x, y) = ,
−3 6
logo
0 −3 1 1 3 −3
Hg (0, 0) = e Hg , = ,
−3 6 2 4 −3 6
donde podemos concluir que (0, 0) é um ponto de sela (o determinante da matriz é negativo, logo
os valores próprios têm sinais contrários), e ( 12 , 41 ) é um ponto de mı́nimo local (o determinante
e o traço da matriz são positivos, logo os valores próprios são ambos positivos).
Departamento de Matemática
Unidade de Ensino de Álgebra e Análise
Cálculo Diferencial e Integral II
Cursos: MEAmb, MEQ, MEBiol, MEBiom
Exame 1a Época - 14 de Junho de 2021 - 13h
Duração: 2 horas
Resolução abreviada
1. Considere a função dada por
x2 +y2
e −1
, (x, y) 6= (0, 0)
p
f (x, y) = x + y2
2
0, (x, y) = (0, 0)
(2 val.) (a) Mostre que f é contı́nua na origem.
Resolução: f é contı́nua na origem sse
lim f (x, y) = f (0, 0) = 0.
(x,y)→(0,0)
Temos
2 2 2 2
ex +y − 1 ex +y − 1 p
lim p = lim 2 2
· lim x2 + y 2 = 0,
(x,y)→(0,0) 2
x +y 2 (x,y)→(0,0) x + y (x,y)→(0,0)
eu − 1
pois lim = 1.
u→0 u
(1 val.) (b) Diga, justificando, se f é diferenciável na origem.
Resolução: Para mostrar que f não é diferenciável na origem, basta mostrar que as deri-
vadas parciais não existem na origem. Temos
2
∂f f (h, 0) − f (0, 0) eh − 1
(0, 0) = lim = lim ,
∂x h→0 h h→0 h|h|
e o último limite não existe, por ter limites laterais diferentes.
(3 val.) 2. Determine e classifique os pontos de estacionaridade da função g(x, y) = 3y 2 − 3xy + x3 .
Resolução: A equação vectorial,
∇g(x, y) = (−3y + 3x2 , 6y − 3x) = (0, 0)
tem as soluções (x, y) = (0, 0) e (x, y) = ( 12 , 14 ), logo estes são os pontos estacionários de g.
A matriz hessiana de g é:
6x −3
Hg (x, y) = ,
−3 6
logo
0 −3 1 1 3 −3
Hg (0, 0) = e Hg , = ,
−3 6 2 4 −3 6
donde podemos concluir que (0, 0) é um ponto de sela (o determinante da matriz é negativo, logo
os valores próprios têm sinais contrários), e ( 12 , 41 ) é um ponto de mı́nimo local (o determinante
e o traço da matriz são positivos, logo os valores próprios são ambos positivos).
