Cálculo diferencial e integral - exame 2

Cálculo Diferencial e Integral I LEB’s Exame Recurso 08/02/2023
Justifique as suas respostas

ESBOÇO DE RESOLUÇÃO:


1. (1.5 vals.) Indique, se existirem, o conjunto dos majorantes, o conjunto dos mino-
rantes, bem como supremo, ı́nfimo, máximo e mı́nimo do conjunto das soluções de
x2 + bx < ax + ab,
onde a e b são parâmetros reais e positivos.




x2 + bx < ax + ab ⇐⇒ x(x + b) < a(x + b) ⇐⇒ x(x + b) − a(x + b) < 0 ⇐⇒
⇐⇒ (x − a)(x + b) < 0 ⇐⇒ −b < x < a,
dado que se trata de uma parábola com a concavidade virada para cima, o conjunto
pedido está entre as raı́zes (notando que tanto a como b são positivos). Seja
S = ] − b, a[

{ majorantes de S } = [a, +∞[, sup S = a, max S: não existe.
{ minorantes de S } =] − ∞, −b[, inf S = −b, min S: não existe.


2. (1.5 + 0.5 + 0.5 vals.) Considere a sucessão de números reais (xn ), dada por
x2n + 3xn
x1 = 1, xn+1 = para cada n ∈ N.
5
(i) Prove que 0 < xn ≤ 1, para cada n ∈ N. (Sugestão: indução).

Com n = 1 temos
0 < xn = 1 ≤ 1.
Assumindo que existe k ∈ N tal que
0 < xk ≤ 1,
tem-se:
0 < xk ≤ 1 =⇒ 0 < xk 2 ≤ 1 e 0 < 3xk ≤ 3 =⇒ 0 < xk 2 + 3xk ≤ 1 + 3
xk 2 + 3xk 4
=⇒ 0< ≤ ≤ 1 ⇐⇒ 0 < xk+1 ≤ 1
5 5
o que termina a demonstração por indução de que
0 < xn ≤ 1 para cada n ∈ N.

1

, (ii) Prove que (xn ) é decrescente.

Como xn > 0 para cada n ∈ N, então provar que é decrescente é o mesmo que
provar que xn+1 /xn > 1, para cada n ∈ N.

xn 2 + 3xn
xn+1 5 xn (xn + 3) xn + 3
= = =
xn xn 5xn 5
Entretanto, como 0 < xn ≤ 1, para cada n ∈ N, então
3 xn + 3 4
3 < xn + 3 ≤ 3 + 1 =⇒ < ≤ < 1,
5 5 5
portanto
xn+1
<1 para cada n ∈ N,
xn
ou seja (xn ) é (estritamente) decrescente.

(iii) Justifique que (xn ) é convergente e calcule o seu limite.

Já vimos que (xn ) é limitada (cf. alı́nea (i), 0 < xn ≤ 1, para cada n ∈ N); já
vimos que (xn ) é monotona (cf. alı́nea (ii), (xn ) é decrescente). Então, (xn ) é
convergente. Calculemos então o seu limite l = lim xn :
xn 2 + 3xn l2 + 3l
l = lim xn+1 = lim =
5 5
=⇒ 0 = l2 + 3l − 5l = l2 − 2l = l(l − 2)
=⇒ l = 0 ou l = 2
Como 0 < xn ≤ 1, para cada n ∈ N, então
l = 0.



3. (0.5 vals.) Seja f uma função contı́nua num intervalo fechado e limitado [a, b], tal que
f ([a, b]) ⊂ [a, b]. Mostre que f tem um ponto fixo em [a, b].

Se f (a) = a ou f (b) = b, o problema está resolvido. Suponhamos então que f (a) 6= a
e que f (b) 6= b. Como f ([a, b]) ⊂ [a, b] então f (a) > a e f (b) < b. Seja então
h(x) = f (x) − x para cada x ∈ [a, b].
Porque h é diferena entre f e a função identidade (ambas contı́nuas), h é contı́nua. Por
outro lado,
h(a) = f (a) − a > 0 h(b) = f (b) − b < 0,
donde pelo corolário do TVI, existe
c ∈]a, b[ tal que 0 = h(c) = f (c) − c =⇒ f (c) = c,
ou seja, em qualquer dos casos, f tem ponto fixo.

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