Cálculo diferencial e integral - exame 1A

Cálculo Diferencial e Integral I LEBiol - LEBiom Exame 23/01/2023
Justifique as suas respostas Versão: A
ESBOÇO DE RESOLUÇÃO:


1. (2+2+2 vals.) Primitive as seguintes funções:
√ x 1
(a) log( x ) (b) (c) √
(x − 1)(x + 2)2 1+ x+1
√
(a) P log x = · · · (seguem-se 3 diferentes resoluções)

 
(i) · · · = P log x1/2 = 21 P log x = 12 x log x − P x x1 = 12 x log x − 21 x + c
√ √ √
(ii) · · · = x log x − P x √1x 2√1 x = x log x − 12 P 1 = x log x − 12 x + c
√
(iii) · · · (t = x; x = t2 ; dx = 2tdt) = 2tdt log t = t2 log t − t2 dtt = t2 log t −
R R
1 2 √
2
t + c = x log x − 12 x + c

(b)
x A B2 B1
= + +
(x − 1)(x + 2)2 x − 1 (x + 2)2 x + 2
com:
x 1 x −2 2
A= x=1
= e B2 = x=−2
= =
(x + 2)2 9 x−1 −2 − 1 3
e
x 1/9 2/3 B1
= + + ⇐⇒
(x − 1)(x + 2) x=0 x − 1 x=0 (x + 2) x=0 x + 2
2 2
x=0
1 2 B1 2 4 2 1 1
0=− + + ⇐⇒ B1 = − = − =−
9 12 2 9 12 9 3 9
donde:

x 1 1 2 1 1 1
P = P + P − P =
(x − 1)(x + 2) 2 9 x − 1 3 (x + 2) 2 9 x+2
1 2 1 1
= log |x − 1| − − log |x + 2| + c
9 3x+2 9
(c)
1 √ 2tdt
Z
2
P √ (t = x + 1; x = t − 1; dx = 2tdt) = =
1+ x+1 1+t
t+1−1 dt
Z Z Z
=2 = 2 dt − 2 = 2t − 2 log |t + 1| + c =
t+1 t+1
√ √

= 2 x + 1 − 2 log 1 + x + 1 + c

1

, 2. (2 vals.) Determine a expressão y = y(x), sabendo que:
p
y′ = 1 − y2 y(0) = 0



dy p dy
Z Z
= 1 − y2 =⇒ p = dx =⇒ arcsin y = x + c
dx 1 − y2
mas como y = 0 quando x = 0 então:
arcsin 0 = 0 + c ⇐⇒ 0=c
so that:
arcsin y = x ⇐⇒ y = sin x

3. (2 vals.) Calcule a área da região plana delimitada pelas linhas:
√ √
y = 2−x y= x y = 0.


Y




√ √
y= 2−x y= x



y=0
X
0 1 2
Figure 1: A área que nos interessa está a tracejado.



√ √
x−2= x =⇒ x−2= x =⇒ 2x = 2 =⇒ x=1


1 2
1 √ 2 √
 
1 −1 1 1 4
Z Z
1 1
+1 +1
dx x + dx 2 − x = 1 x2 + 1 (2 − x) 2 = + =
0 1 2
+1 0 2
+1 1 3/2 3/2 3

4. (2 vals.) Determine uma função diferenciável f : R −→ R, não identicamente nula,
que satisfaz a equação Z x

2 1
f (x) = f (t) dt.
0 1 + t2

2