Folhas
Cálculo Diferencial e Integral I
LMAC/MEBiom/MEFT
1o semestre 2015/16
Miguel Abreu
Rui Loja Fernandes
Manuel Ricou
Departamento de Matemática
Instituto Superior Técnico
6 de Setembro de 2015
,DMIST - 2015
,Conteúdo
1 Os Números Reais 1
1.1 Propriedades Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Desigualdades e Relação de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 O Axioma do Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Números Naturais e Indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Conjuntos Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 Limites e Continuidade 37
2.1 Noções Elementares sobre Funções . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Exemplos de Funções Reais de Variável Real . . . . . . . . . 45
2.2.1 Funções Polinomiais e Racionais . . . . . . . . . . . . 45
2.2.2 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.3 Funções Exponencial e Logaritmo . . . . . . . . . . . . 55
2.3 Limite de uma função num ponto . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4 Propriedades Elementares de Limites . . . . . . . . . . . . . . 68
2.5 Limites Laterais, Infinitos e no Infinito . . . . . . . . . . . . . 75
2.6 Indeterminações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.7 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.8 Funções Contı́nuas em Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3 Derivadas 95
3.1 Derivada de Uma Função num Ponto . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2 Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.3 Derivada de Funções Compostas . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.4 O Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.5 Teorema e Regra de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.6 Extremos, Concavidade e Assı́mptotas . . . . . . . . . . . . . 129
3.7 Polinómios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4 Integrais 153
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.2 Os Teoremas Fundamentais do Cálculo (I) . . . . . . . . . . . 159
4.3 Técnicas de Primitivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
i
, ii CONTEÚDO
4.3.1 Primitivação e Integração por Partes . . . . . . . . . . 167
4.3.2 Primitivação por Substituição . . . . . . . . . . . . . . 169
4.3.3 Primitivação de Funções Racionais . . . . . . . . . . . 171
4.3.4 Primitivação de Funções Trigonométricas . . . . . . . 178
4.4 O Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.5 Funções Integráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.6 Os Teoremas Fundamentais do Cálculo (II) . . . . . . . . . . 197
5 Sucessões e Séries 203
5.1 Definições Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.2 Sucessões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.3 Séries de Termos Não-Negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.3.1 Critério de Comparação . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.3.2 Critério Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.3.3 Critério do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.3.4 Critérios da Raı́z e da Razão . . . . . . . . . . . . . . 220
5.4 Outras Séries Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.5 Séries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.6 Algumas Funções Transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Cálculo Diferencial e Integral I
LMAC/MEBiom/MEFT
1o semestre 2015/16
Miguel Abreu
Rui Loja Fernandes
Manuel Ricou
Departamento de Matemática
Instituto Superior Técnico
6 de Setembro de 2015
,DMIST - 2015
,Conteúdo
1 Os Números Reais 1
1.1 Propriedades Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Desigualdades e Relação de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 O Axioma do Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Números Naturais e Indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Conjuntos Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 Limites e Continuidade 37
2.1 Noções Elementares sobre Funções . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Exemplos de Funções Reais de Variável Real . . . . . . . . . 45
2.2.1 Funções Polinomiais e Racionais . . . . . . . . . . . . 45
2.2.2 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.3 Funções Exponencial e Logaritmo . . . . . . . . . . . . 55
2.3 Limite de uma função num ponto . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4 Propriedades Elementares de Limites . . . . . . . . . . . . . . 68
2.5 Limites Laterais, Infinitos e no Infinito . . . . . . . . . . . . . 75
2.6 Indeterminações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.7 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.8 Funções Contı́nuas em Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3 Derivadas 95
3.1 Derivada de Uma Função num Ponto . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2 Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.3 Derivada de Funções Compostas . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.4 O Teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.5 Teorema e Regra de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.6 Extremos, Concavidade e Assı́mptotas . . . . . . . . . . . . . 129
3.7 Polinómios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4 Integrais 153
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.2 Os Teoremas Fundamentais do Cálculo (I) . . . . . . . . . . . 159
4.3 Técnicas de Primitivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
i
, ii CONTEÚDO
4.3.1 Primitivação e Integração por Partes . . . . . . . . . . 167
4.3.2 Primitivação por Substituição . . . . . . . . . . . . . . 169
4.3.3 Primitivação de Funções Racionais . . . . . . . . . . . 171
4.3.4 Primitivação de Funções Trigonométricas . . . . . . . 178
4.4 O Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.5 Funções Integráveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.6 Os Teoremas Fundamentais do Cálculo (II) . . . . . . . . . . 197
5 Sucessões e Séries 203
5.1 Definições Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.2 Sucessões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.3 Séries de Termos Não-Negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.3.1 Critério de Comparação . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.3.2 Critério Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.3.3 Critério do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
5.3.4 Critérios da Raı́z e da Razão . . . . . . . . . . . . . . 220
5.4 Outras Séries Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.5 Séries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.6 Algumas Funções Transcendentes . . . . . . . . . . . . . . . . 241
