Cálculo diferencial e integral - exame

Instituto Superior Técnico
Departamento de Matemática
Unidade de Ensino de Álgebra e Análise




Cálculo Diferencial e Integral II
Cursos: LEBIOL, LEBiom, LEIC-A, LEMat, LEQ, LEAmb, LEGM, LEC
Exame Recurso - 18 de Julho de 2022 - 10h30
Duração: 2 horas

Resolução abreviada

1. Seja h : R2 → R a função definida por
 3
p y

, se (x, y) ̸= (0, 0)
h(x, y) = x2 + 3y 2

0, se (x, y) = (0, 0).

(2 val.) (a) Determine se h é contı́nua em (0, 0).

Resolução:
Tendo em conta que

|y|
h(x, y) ≤ y 2 p ≤ y 2 ≤ ∥(x, y)∥2
2
x +y 2


conclui-se que f é contı́nua na origem.


(2 val.) (b) Calcule, se existir, a derivada de h segundo o vector v = (1, 1) na origem.


Resolução:
h(x,0)−h(0,0)
Pela definição (limite) ou da seguinte maneira. Sendo x = 0 para qualquer
x ∈ R, então ∂h∂x (0, 0) = 0; temos ainda

∂h h(0, y) − h(0, 0) y
(0, 0) = lim = lim y √ = 0,
∂y y→0 y t→0 |y| 3
| {z }
limitada

pelo que ∇h(0, 0) = (0, 0). Por outro lado

|h(x, y) − h(0, 0) − ∇h(0, 0) · (x, y)| y2
≤ |y| 2 ≤ |y| → 0
∥(x, y)∥ x + y2

quando (x, y) → (0, 0). Sendo assim, f é diferenciável na origem e

D(1,1) h(0, 0) = ∇h(0, 0) · (1, 1) = 0.

, (2 val.) 2. Considere as funções f : R2 → R2 e g : R2 → R dadas por
2 +v 2
f (x, y) = (2x + y − xy, x − y + xy) e g(u, v) = (u − v)eu .

Calcule D(g ◦ f )(1, 1).


Resolução: Como f e h são funções de classe C 1 , usando a regra da derivação
composta obtemos

D(g ◦ f )(1, 1) = Dg(f (1, 1)) Df (1, 1) = Dg(2, 1) Df (1, 1),

pois f (1, 1) = (2, 1). Mais ainda,
   
2−y 1−x 1 0
Df (x, y) = ⇒ Df (1, 1) = e
1 + y −1 + x 2 0
2 +v 2
Dg(u, v) = eu Dg(2, 1) = e5 5 1 .
   
1 + 2u(u − v) −1 + 2v(u − v) ⇒
Desta forma  
5
 1 0
= 7e5 0
  
D(g ◦ f )(1, 1) = e 5 1
2 0


2
3. Considere o conjunto C = (x, y, z) ∈ R3 : x2 + y4 = 1, z = y 2 − x2 . Justifique que

(2 val.)
existem o máximo e o mı́nimo da distância dos pontos de C ao eixo Oz. Determine
os seus valores bem como os respectivos pontos de extremo.


Resolução: Consideremos a função quadrado da distância de (x, y, z) ao eixo Oz, que
é f (x, y, z) = x2 + y 2 . Note que as as condições

y2
F1 (x, y, z) = y 2 − x2 − z = 0 e F2 (x, y, z) = x2 + −1=0
4
definem a interesecção de duas superfı́cies, sendo que, para qualquer (x, y) ∈ C,
|x| ≤ 1, |y| ≤ 2 e |z| ≤ |y 2 − x2 | ≤ |y|2 + |x|2 ≤ 5. Como C também é fechado
(basta ver que o limite de qualquer sucessão convergente un ∈ C pertence a C) então
C é compacto; e como f é contı́nua, pelo teorema de Weierstrass f tem máximo
e mı́nimo em C. Para calcular os valores destes extremos, utilizamos o método dos
multiplicadores de Lagrange:
y
 
∇f = λ1 ∇F1 + λ2 ∇F2
 (2x, 2y, 0) = λ1 (−2x, 2y, −1) + λ2 (2x, 2 , 0)

F1 = 0 ⇔ z = y 2 − x2
  2 y2

F2 = 0 x + 2 =1
