Cálculo diferencial e integral - exame

Instituto Superior Técnico
Departamento de Matemática
Unidade de Ensino de Álgebra e Análise




Cálculo Diferencial e Integral II
Cursos: LEAer, LEBiol, LEBiom, LEFT
Exame 1a Época - 4 de Julho de 2022 - 18h
Duração: 2 horas

Resolução abreviada

1. Seja f : R2 → R a função definida por
 2
 y , se (x, y) 6= (0, 0)
f (x, y) = 3x2 + y 2
0, se (x, y) = (0, 0).


(2 val.) a) Determine o conjunto de pontos em que f é contı́nua.
Resolução: Pelas propriedades das funções contı́nuas f é contı́nua em R2 \ {(0, 0)} .
Notando que f (0, y) = 1 conclui-se que f não é contı́nua na origem.
(2 val.) b) Decida sobre a diferenciabilidade da função g : R2 → R, definida por g(x, y) = xyf (x, y),
na origem.
Resolução: Sendo g(x, 0) = g(0, y) = 0 tem-se

∂g ∂g
(0, 0) = (0, 0) = 0.
∂x ∂y

Tendo em conta que

|g(x, y)| |x|y 2 |y|
p ≤p ≤ |y|
x2 + y 2 x2 + y 2 (x2 + y 2 )

conclui-se que g é diferenciável na origem.

(2 val.) 2. Seja f : R3 → R uma função de classe C 1 tal que f (2, 1, 1) = 0 e ∇f (2, 1, 1) = (−1, 0, 1).
Considere a função h(x, y, z) = (x2 + y 2 + z 2 , yexz , sen(xy) + z 3 ). Mostre que a equação
(f ◦ h)(x, y, z) = 0 define z como função de x e y de classe C 1 numa vizinhança do ponto
(0, 1, 1).
Resolução: Consideramos a função F = f ◦ h. Esta função é de classe C 1 e satisfaz
F (0, 1, 1) = f (2, 1, 1) = 0. Por outro lado

∂F ∂f ∂h1 ∂f ∂h2 ∂f ∂h3
(0, 1, 1) = (2, 1, 1) · (0, 1, 1) + (2, 1, 1) · (0, 1, 1) + (2, 1, 1) · (0, 1, 1)
∂z ∂x ∂z ∂y ∂z ∂z ∂z
∂f ∂f ∂f
= (2, 1, 1) · 2z|(0,1,1) + (2, 1, 1) · yxexz
|(0,1,1) +
2
(2, 1, 1) · 3z|(0,1,1)
∂x ∂y ∂z
= (−1, 0, 1) · (2, 0, 3) = 1 6= 0.

Logo podemos concluir, pelo Teorema da Função Implı́cita, que a equação

F (x, y, z) = (f ◦ h)(x, y, z) = 0

define z como função de x e y de classe C 1 numa vizinhança do ponto (0, 1, 1).