calculo diferencial e integral - Exame 1 V2 + Resolução

Instituto Superior Técnico
Departamento de Matemática
Cálculo Diferencial e Integral II
Exame 1 - V2 - 26 de Junho de 2023 - 18h
Duração: 1h


Resolução Abreviada


[5.0 val.] 1. Determine uma expressão para o volume do conjunto

S = {(x, y, z) ∈ R3 : −1 < x < 1 − z; z − 1 < y < 2 − x; 0 < z < 1},
R R R
na forma de integrais do tipo ( ( dy)dz)dx. Não precisa de calcular o volume.
Solução: As desigualdades 0 < z, −1 < x < 1 − z implicam que −1 < x < 1. Dado um x
fixo neste intervalo, obtêm-se as condições para a intersecção de S com o plano determinado
por aquele valor de x:

z − 1 < y < 2 − x; 0 < z < 1; z < 1 − x.

Portanto o limite superior para z é o mı́nimo entre 1 e 1 − x, e temos
Z 0 Z 1 Z 2−x   Z 1 Z 1−x Z 2−x  
1 dy dz dx + 1 dy dz dx.
−1 0 z−1 0 0 z−1




[5.0 val.] 2. Usando uma mudança de variáveis adequada, calcule o volume do conjunto
p
B = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z > 2; z < 2 − x2 − y 2 ; x > 0}

Solução: Em coordenadas cilı́ndricas (ρ, θ, z) tem-se:
π π
− < θ < , 2 − ρ < z < 2 − ρ2 .
2 2
Portanto, o volume do conjunto B é dado por
Z π Z 1 Z 2−ρ2 ! ! Z π Z 1 
2 2
3 2

π
ρ dz dρ dθ = 2ρ − ρ − 2ρ + ρ dρ dθ = .
− π2 0 2−ρ − π2 0 12




3. Seja f : R2 \ {(0, 0)} → R2 o campo definido por
 
y 2 x
f (x, y) = 3x + 1 − 2 ,y + 2
x + y2 x + y2

e γ um caminho cuja imagem é o conjunto C = {(x, y) ∈ R2 : 2x2 +y 2 = 1; x ≥ 0} percorrido
no sentido horário.