Summary calculo diferencial e integral - Resumos teóricos 21/22

Resumos de CDI-II



1. Topologia, continuidade e limites em Rn

1. A bola aberta de centro em a ∈ Rn e raio r > 0 é o conjunto

Br (a) = {x ∈ Rn : kx − ak < r}.

2. Seja A ⊂ Rn um conjunto. Um ponto a ∈ Rn diz-se:
(i) interior a A se existe r > 0 tal que Br (a) ⊂ A;
(ii) exterior a A se existe r > 0 tal que Br (a) ∩ A = ∅;
(iii) fronteiro a A se não é interior nem exterior.
O conjunto int A dos pontos interiores de A diz-se o interior de A. O conjunto ext A dos
pontos exteriores de A diz-se o exterior de A. O conjunto ∂A dos pontos fronteiros de A
diz-se a fronteira de A. O conjunto Ā = int A ∪ ∂A diz-se o fecho de A. O conjunto A
diz-se aberto se A = int A, e diz-se fechado se A = Ā.
3. Uma sucessão em Rn é uma função x : N → Rn . Escrevemos xk = x(k).
4. Dizemos que uma sucessão xk converge para a ∈ Rn (e escrevemos lim xk = a, ou
xk → a) se

∀r>0 ∃N ∈N : k > N ⇒ xk ∈ Br (a)
⇔ ∀r>0 ∃N ∈N : k > N ⇒ kxk − ak < r
⇔ kxk − ak → 0.

5. Uma sucessão xk = ((x1 )k , . . . , (xn )k ) converge para um ponto a = (a1 , . . . , an ) sse cada
sucessão (xi )k converge para ai (i = 1, . . . , n).
6. Propriedades dos limites de sucessões: Se xk , yk são sucessões convergentes em Rn e
ak é uma sucessão convergente em R então:
(i) lim xk é único;
(ii) lim (xk + yk ) = lim xk + lim yk ;
(iii) lim (ak yk ) = (lim ak ) (lim yk );
(iv) lim(xk · yk ) = (lim xk ) · (lim yk ).
7. Um conjunto A ⊂ Rn é fechado sse toda a sucessão convergente de termos em A tem
limite em A.
8. Um conjunto A ⊂ Rn diz-se limitado se existe algum r > 0 tal que A ⊂ Br (0). Um
conjunto A ⊂ Rn diz-se compacto se é limitado e fechado.
9. Teorema de Bolzano-Weierstrass: Um conjunto A ⊂ Rn é compacto sse toda a sucessão
de termos em A admite uma subsucessão convergente para um ponto de A.

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, 10. Uma função f : Rn → R diz-se um campo escalar. Uma função F : Rn → Rn diz-se um
campo vetorial. Uma função g : R → Rn contı́nua diz-se um caminho.
11. O gráfico de uma função f : Rn → Rm é o conjunto

Graf(f ) = {(x, y) ∈ Rn+m : y = f (x)}.

O conjunto de nı́vel da função f correspondente ao valor c ∈ Rm é o conjunto

f −1 (c) = {x ∈ Rn : f (x) = c}.

12. Dizemos que b ∈ Rm é o limite de uma função f : A ⊂ Rn → Rm quando x tende para
a ∈ Ā (e escrevemos limx→a f (x) = b) se

∀r>0 ∃ε>0 : x ∈ Bε (a) ∩ A ⇒ f (x) ∈ Br (b)
⇔ ∀r>0 ∃ε>0 : kx − ak < ε e x ∈ A ⇒ kf (x) − bk < r
⇔ ∀sucessão xk ∈A xk → a ⇒ f (xk ) → b.

13. Propriedades dos limites de funções: Se f , g : Rn → Rm e ϕ : Rn → R são funções
com limite no ponto a ∈ Rn então:
(i) limx→a f (x) é único;
(ii) limx→a f (x) = (limx→a f1 (x), . . . , limx→a fm (x));
(iii) limx→a (f (x) + g(x)) = limx→a f (x) + limx→a g(x);
(iv) limx→a (ϕ(x)f (x)) = (limx→a ϕ(x)) (limx→a f (x));
(v) limx→a (f (x) · g(x)) = (limx→a f (x)) · (limx→a g(x)).
14. Diz-se que f : A ⊂ Rn → Rm é contı́nua no ponto a ∈ A se limx→a f (x) = f (a). A
função f diz-se contı́nua se é contı́nua em todos os pontos do seu domı́nio.
15. Propriedades das funções contı́nuas: Se f , g : Rn → Rm , ϕ : Rn → R e h : Rm → Rp
são funções e a ∈ Rn então:
(i) f = (f1 , . . . , fm ) é contı́nua em a sse f1 , . . . , fm são contı́nuas em a;
(ii) Se f e g são contı́nuas em a então f + g é contı́nua em a;
(iii) Se ϕ e f são contı́nuas em a então ϕf é contı́nua em a;
(iv) Se f e g são contı́nuas em a então f · g é contı́nua em a;
(v) Se f é contı́nua em a e h é contı́nua em f (a) então h ◦ f é contı́nua em a;
(vi) A função ϕi (x1 , . . . , xn ) = xi (com i = 1, . . . , n) é contı́nua.
16. Teorema Weierstrass: Se A ⊂ Rn é compacto e f : A → R é contı́nua então f tem
máximo e mı́nimo.

2. Cálculo Diferencial em Rn

1. A derivada de f : A ⊂ Rn → Rm segundo o vetor v ∈ Rn no ponto a ∈ int A é
∂f f (a + hv) − f (a)
(a) = lim ≡ Dv f (a) ≡ ∂v f (a) ≡ ∇v f (a).
∂v h→0 h
2. A i-ésima derivada parcial da função f : A ⊂ Rn → Rm no ponto a ∈ int A é
∂f ∂f
(a) ≡ ∂i f (a) = (a).
∂xi ∂ei

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