Instituto Superior Técnico
Departamento de Matemática
Cálculo Diferencial e Integral II
Apontamentos das aulas teóricas
(Adaptado de um texto do Prof. Gustavo Granja)
,2
Índice
1. Introdução 2
2. Noções topológicas em Rn 3
3. Sucessões em Rn 4
4. Limites de funções 6
5. Continuidade 7
6. Cálculo de limites 8
7. Teorema de Weierstrass 10
8. Derivada segundo um vetor 12
9. Diferenciabilidade 14
10. Funções de classe C 1 18
11. Regra de derivação da função composta 19
12. Aplicações geométricas da derivada 22
13. Lema de Schwarz 25
14. A fórmula de Taylor 29
15. Extremos 32
16. Teorema da Função Inversa 37
17. Teorema da Função Implı́cita 39
18. Método dos multiplicadores de Lagrange 49
19. Definição de integral 53
20. O Teorema de Fubini 55
21. Propriedades do integral. Integrabilidade 63
22. Mudança de variáveis 68
23. Regra de Leibniz 80
24. Integrais de linha de campos escalares 83
25. Integrais de linha de campos vetoriais 86
26. Campos gradientes e campos fechados 89
27. Teorema Fundamental do Cálculo 94
28. Teorema de Green 98
29. Homotopia de caminhos 103
30. Conjuntos simplesmente conexos 105
Referências 108
1. Introdução
Este texto consiste num guião aproximado para as apresentações feitas nas aulas. Não
se destina a substituir um livro de texto. Para um tratamento coerente dos assuntos
desta cadeira recomendamos os livros [P1] e [P2]. Um excelente texto para os alunos mais
interessados é a referência [S].
, 3
2. Noções topológicas em Rn
O espaço Euclidiano de dimensão n é o conjunto de n-tuplos de números reais
Rn = {(x1 , . . . , xn ) : xi ∈ R}.
Para n = 1, 2, 3 os elementos de Rn correspondem a pontos numa linha, plano ou espaço
tridimensional munidos de eixos coordenados.
Recorde-se que a norma de um vetor x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn é o real não negativo dado
pela expressão q
kxk = x21 + . . . + x2n
e que o seu significado geométrico é o comprimento do vetor x. Tendo em conta o significado
geométrico da adição de vetores, segue-se que a distância entre dois pontos x, y de Rn é
kx − yk.
Definição 2.1. Seja x0 ∈ Rn e r > 0. A bola aberta de centro em x0 e raio r é o conjunto
formado por todos os pontos de Rn cuja distância a x0 é inferior a r:
Br (x0 ) = {x ∈ Rn : kx − x0 k < r}.
Para n = 1, a bola de raio r é um intervalo aberto de comprimento 2r, para n = 2 é
a região do plano limitada por uma circunferência de raio r excluindo a circunferência, e
para n = 3 a região do espaço limitada por uma superfı́cie esférica de raio r centrada em
x0 (excluindo a própria superfı́cie).
Definição 2.2. Seja A um subconjunto de Rn . Um ponto x ∈ Rn diz-se
(i) interior a A se existe r > 0 tal que Br (x) ⊂ A,
(ii) exterior a A se existe r > 0 tal que Br (x) ∩ A = ∅ (alternativamente se x é interior
ao complementar de A, Ac = Rn \ A),
(iii) fronteiro a A se não é interior nem exterior (alternativamente, se toda a bola aberta
Br (x) tem interseção não vazia com A e com Ac ),
(iv) aderente a A se é interior ou fronteiro a A (alternativamente, se toda a bola aberta
Br (x) interseta A).
O conjunto dos pontos interiores a A designa-se por interior de A e denota-se por int A.
O conjunto dos pontos exteriores a A designa-se por exterior de A e denota-se por ext A.
O conjunto dos pontos fronteiros a A designa-se por fronteira de A e denota-se por ∂A.
O conjunto dos pontos aderentes a A designa-se por aderência de A ou fecho de A e
denota-se por A.
Note-se que qualquer conjunto A ⊂ Rn divide Rn em três conjuntos disjuntos: o interior,
o exterior e a fronteira de A. Intuitivamente, os pontos do fecho de A são os pontos que
estão “infinitamente próximos” de A, ou, equivalentemente, os pontos cuja distância a A
é 0.
Exemplo 2.3.
(a) Seja A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0}. Então int A = {(x, y) ∈ R2 : x > 0}, ext A = {(x, y) ∈
R2 : x < 0}, ∂A = {(x, y) ∈ R2 : x = 0} e A = A.
, 4
(b) Seja A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}. Então int A = ∅, ext A = Ac = {(x, y) ∈
R2 : x2 + y 2 6= 1}, ∂A = A, A = A.
(c) Seja A = {(x, y, z) ∈ R3 : z > x2 + y 2 }. Então int A = A, ext A = {(x, y, z) ∈ R3 : z <
x2 + y 2 }, ∂A = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y 2 }, e A = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x2 + y 2 }.
(d) Seja A = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ Q}. Então int A = ext A = ∅ e ∂A = A = R2 .
Definição 2.4. Um conjunto A ⊂ Rn diz-se
(i) aberto se A = int A,
(ii) fechado se A = A (equivalentemente, se Ac é aberto),
(iii) limitado se A está contido nalguma bola aberta (equivalentemente, se a função distância
à origem é limitada em A),
(iv) compacto se A é limitado e fechado.
Como iremos ver, os conjuntos compactos desempenham um papel fundamental no
Cálculo de várias variáveis (essencialmente pela mesma razão que o fazem também no
Cálculo de uma variável).
Exemplo 2.5. Para os conjuntos do Exemplo 2.3 temos:
(a) A é fechado. Não é aberto. Não é limitado e portanto também não é compacto.
(b) A é fechado. Não é aberto. É limitado e portanto compacto.
(c) A não é fechado, é aberto, não é limitado nem compacto.
(d) A não é aberto, nem fechado, nem limitado, nem compacto.
Note-se que um conjunto pode ser aberto e fechado. É possı́vel provar que os únicos
subconjuntos de Rn que são abertos e fechados são Rn e ∅.
3. Sucessões em Rn
Uma sucessão em Rn é uma função N → Rn que a cada natural k ∈ N associa um
vetor xk ∈ Rn . É costume denotar uma tal função por (xk ) ou (xk )k∈N . Geometricamente
uma sucessão pode ser representada por um conjunto de pontos no espaço Euclidiano Rn .
Escrevendo
xk = (x1,k , x2,k , . . . , xn,k )
obtemos n sucessões reais xi,k que se designam por sucessões coordenadas.
Exemplo 3.1. A expressão xk = k1 , ek define uma sucessão em R2 . A primeira sucessão
coordenada é x1,k = k1 e a segunda sucessão coordenada é x2,k = ek .
Definição 3.2. Uma sucessão (xk ) em Rn converge para y ∈ Rn se para todo o > 0
existe um natural N tal que, para k > N se tem xk ∈ B (y). Escreve-se então lim xk = y
ou limk→∞ xk = y.
A definição anterior traduz de forma precisa a ideia que os vetores xk se estão a aproximar
de y à medida que k aumenta. Recomenda-se a verificação da seguinte equivalência:
lim xk = y ⇔ kxk − yk → 0.
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Cálculo Diferencial e Integral II
Apontamentos das aulas teóricas
(Adaptado de um texto do Prof. Gustavo Granja)
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Índice
1. Introdução 2
2. Noções topológicas em Rn 3
3. Sucessões em Rn 4
4. Limites de funções 6
5. Continuidade 7
6. Cálculo de limites 8
7. Teorema de Weierstrass 10
8. Derivada segundo um vetor 12
9. Diferenciabilidade 14
10. Funções de classe C 1 18
11. Regra de derivação da função composta 19
12. Aplicações geométricas da derivada 22
13. Lema de Schwarz 25
14. A fórmula de Taylor 29
15. Extremos 32
16. Teorema da Função Inversa 37
17. Teorema da Função Implı́cita 39
18. Método dos multiplicadores de Lagrange 49
19. Definição de integral 53
20. O Teorema de Fubini 55
21. Propriedades do integral. Integrabilidade 63
22. Mudança de variáveis 68
23. Regra de Leibniz 80
24. Integrais de linha de campos escalares 83
25. Integrais de linha de campos vetoriais 86
26. Campos gradientes e campos fechados 89
27. Teorema Fundamental do Cálculo 94
28. Teorema de Green 98
29. Homotopia de caminhos 103
30. Conjuntos simplesmente conexos 105
Referências 108
1. Introdução
Este texto consiste num guião aproximado para as apresentações feitas nas aulas. Não
se destina a substituir um livro de texto. Para um tratamento coerente dos assuntos
desta cadeira recomendamos os livros [P1] e [P2]. Um excelente texto para os alunos mais
interessados é a referência [S].
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2. Noções topológicas em Rn
O espaço Euclidiano de dimensão n é o conjunto de n-tuplos de números reais
Rn = {(x1 , . . . , xn ) : xi ∈ R}.
Para n = 1, 2, 3 os elementos de Rn correspondem a pontos numa linha, plano ou espaço
tridimensional munidos de eixos coordenados.
Recorde-se que a norma de um vetor x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn é o real não negativo dado
pela expressão q
kxk = x21 + . . . + x2n
e que o seu significado geométrico é o comprimento do vetor x. Tendo em conta o significado
geométrico da adição de vetores, segue-se que a distância entre dois pontos x, y de Rn é
kx − yk.
Definição 2.1. Seja x0 ∈ Rn e r > 0. A bola aberta de centro em x0 e raio r é o conjunto
formado por todos os pontos de Rn cuja distância a x0 é inferior a r:
Br (x0 ) = {x ∈ Rn : kx − x0 k < r}.
Para n = 1, a bola de raio r é um intervalo aberto de comprimento 2r, para n = 2 é
a região do plano limitada por uma circunferência de raio r excluindo a circunferência, e
para n = 3 a região do espaço limitada por uma superfı́cie esférica de raio r centrada em
x0 (excluindo a própria superfı́cie).
Definição 2.2. Seja A um subconjunto de Rn . Um ponto x ∈ Rn diz-se
(i) interior a A se existe r > 0 tal que Br (x) ⊂ A,
(ii) exterior a A se existe r > 0 tal que Br (x) ∩ A = ∅ (alternativamente se x é interior
ao complementar de A, Ac = Rn \ A),
(iii) fronteiro a A se não é interior nem exterior (alternativamente, se toda a bola aberta
Br (x) tem interseção não vazia com A e com Ac ),
(iv) aderente a A se é interior ou fronteiro a A (alternativamente, se toda a bola aberta
Br (x) interseta A).
O conjunto dos pontos interiores a A designa-se por interior de A e denota-se por int A.
O conjunto dos pontos exteriores a A designa-se por exterior de A e denota-se por ext A.
O conjunto dos pontos fronteiros a A designa-se por fronteira de A e denota-se por ∂A.
O conjunto dos pontos aderentes a A designa-se por aderência de A ou fecho de A e
denota-se por A.
Note-se que qualquer conjunto A ⊂ Rn divide Rn em três conjuntos disjuntos: o interior,
o exterior e a fronteira de A. Intuitivamente, os pontos do fecho de A são os pontos que
estão “infinitamente próximos” de A, ou, equivalentemente, os pontos cuja distância a A
é 0.
Exemplo 2.3.
(a) Seja A = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0}. Então int A = {(x, y) ∈ R2 : x > 0}, ext A = {(x, y) ∈
R2 : x < 0}, ∂A = {(x, y) ∈ R2 : x = 0} e A = A.
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(b) Seja A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}. Então int A = ∅, ext A = Ac = {(x, y) ∈
R2 : x2 + y 2 6= 1}, ∂A = A, A = A.
(c) Seja A = {(x, y, z) ∈ R3 : z > x2 + y 2 }. Então int A = A, ext A = {(x, y, z) ∈ R3 : z <
x2 + y 2 }, ∂A = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y 2 }, e A = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≥ x2 + y 2 }.
(d) Seja A = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ Q}. Então int A = ext A = ∅ e ∂A = A = R2 .
Definição 2.4. Um conjunto A ⊂ Rn diz-se
(i) aberto se A = int A,
(ii) fechado se A = A (equivalentemente, se Ac é aberto),
(iii) limitado se A está contido nalguma bola aberta (equivalentemente, se a função distância
à origem é limitada em A),
(iv) compacto se A é limitado e fechado.
Como iremos ver, os conjuntos compactos desempenham um papel fundamental no
Cálculo de várias variáveis (essencialmente pela mesma razão que o fazem também no
Cálculo de uma variável).
Exemplo 2.5. Para os conjuntos do Exemplo 2.3 temos:
(a) A é fechado. Não é aberto. Não é limitado e portanto também não é compacto.
(b) A é fechado. Não é aberto. É limitado e portanto compacto.
(c) A não é fechado, é aberto, não é limitado nem compacto.
(d) A não é aberto, nem fechado, nem limitado, nem compacto.
Note-se que um conjunto pode ser aberto e fechado. É possı́vel provar que os únicos
subconjuntos de Rn que são abertos e fechados são Rn e ∅.
3. Sucessões em Rn
Uma sucessão em Rn é uma função N → Rn que a cada natural k ∈ N associa um
vetor xk ∈ Rn . É costume denotar uma tal função por (xk ) ou (xk )k∈N . Geometricamente
uma sucessão pode ser representada por um conjunto de pontos no espaço Euclidiano Rn .
Escrevendo
xk = (x1,k , x2,k , . . . , xn,k )
obtemos n sucessões reais xi,k que se designam por sucessões coordenadas.
Exemplo 3.1. A expressão xk = k1 , ek define uma sucessão em R2 . A primeira sucessão
coordenada é x1,k = k1 e a segunda sucessão coordenada é x2,k = ek .
Definição 3.2. Uma sucessão (xk ) em Rn converge para y ∈ Rn se para todo o > 0
existe um natural N tal que, para k > N se tem xk ∈ B (y). Escreve-se então lim xk = y
ou limk→∞ xk = y.
A definição anterior traduz de forma precisa a ideia que os vetores xk se estão a aproximar
de y à medida que k aumenta. Recomenda-se a verificação da seguinte equivalência:
lim xk = y ⇔ kxk − yk → 0.
