Examen VWO
2023
tijdvak 1
donderdag 11 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1024-a-23-1-o
, OVERZICHT FORMULES
Differentiëren
naam van de regel functie afgeleide
somregel s ( x) f ( x) g ( x) s' ( x) f ' ( x) g' ( x)
verschilregel v( x) f ( x) g ( x) v' ( x) f ' ( x) g' ( x)
productregel p ( x) f ( x) g ( x) p' ( x) f ' ( x) g ( x) f ( x) g' ( x)
f ( x) f ' ( x) g ( x) f ( x) g' ( x)
quotiëntregel q( x) q' ( x)
g ( x) ( g ( x))2
k' ( x) f ' ( g ( x)) g' ( x) of
kettingregel k ( x ) f ( g ( x )) dk df dg
dx dg dx
Logaritmen
regel voorwaarde
g
log a g log b g log ab g > 0, g 1, a > 0, b > 0
a
g
log a g log b g log g > 0, g 1, a > 0, b > 0
b
g
log a p p g log a g > 0, g 1, a > 0
p
log a
g
log a g > 0, g 1, a > 0, p > 0, p 1
p
log g
VW-1024-a-23-1-o lees verder ►►►
, Duiken
Karima volgt een duikcursus voor beginners. In het theorieboekje wordt
uitgelegd dat er onder water een grotere druk heerst dan boven water.
Aan de oppervlakte is de druk 1 bar. Omdat een duiker op grotere diepte
lucht inademt onder een hogere druk verbruikt hij zijn luchtvoorraad
sneller en is de maximale duiktijd korter.
Door het gewicht van het water neemt de druk onder water lineair toe met
de diepte: zie de onderstaande tabel.
tabel
diepte druk
0m 1 bar
10 m 2 bar
20 m 3 bar
30 m 4 bar
40 m 5 bar
Een duiker neemt samengeperste lucht mee in een duikfles om onder
water te kunnen ademen. Het is van levensbelang om een duik goed te
plannen, zodat de duiker nooit zonder lucht komt te zitten. De maximale
duiktijd op grond van de beschikbare luchtvoorraad kan volgens het
theorieboekje van Karima berekend worden met de volgende formule1):
V (b e)
T
q p
Hierin is T de maximale duiktijd op een vaste diepte in minuten, V de
inhoud van de duikfles in liters, zijn b en e de druk in de fles in bar aan het
begin respectievelijk aan het eind van de duik, is q het luchtverbruik van
de duiker in liter/minuut en p de druk op de duikdiepte.
Karima is van plan een duik op een diepte van 10 meter uit te voeren. Ze
heeft een duikfles met een inhoud van 14 liter die gevuld is met lucht met
een druk van 200 bar. Karima weet in eerste instantie haar luchtverbruik
niet en maakt gebruik van het gegeven dat het luchtverbruik van een met
haar vergelijkbare duiker 18 liter/minuut is. Aan het einde van de duik wil
ze als reserve nog minstens 50 bar druk in haar fles hebben.
3p 1 Bereken met deze gegevens hoeveel minuten haar duik maximaal mag
duren. Geef je antwoord in hele minuten.
noot 1 Er zijn ook formules waarbij rekening gehouden wordt met de tijdsduur van de duik en
de druk tijdens het dalen en stijgen, maar in deze opgave laten we dat buiten
beschouwing.
VW-1024-a-23-1-o lees verder ►►►
, In bovenstaande berekening is voor het luchtverbruik van Karima een
waarde van een met haar vergelijkbare duiker gebruikt. Voor een
nauwkeuriger berekening wil zij haar individuele luchtverbruik berekenen
op basis van gegevens van een vorige duik. Eerder heeft Karima een duik
gemaakt met een duikdiepte van 15 meter. Ze begon met een volle
duikfles van 14 liter met 200 bar druk. Aan het einde van haar duik, na
49 minuten, had ze nog 63 bar druk in haar duikfles.
4p 2 Bereken haar luchtverbruik in liter per minuut tijdens die duik. Geef je
antwoord in één decimaal.
Om sneller de maximale duiktijd te berekenen, is het handig om in plaats
van de druk p op de duikdiepte direct de duikdiepte d in meter in de
formule in te kunnen vullen. Hiervoor moet de formule aangepast worden.
3p 3 Stel met behulp van de tabel een dergelijke formule voor T op.
Voor een situatie met een fles van 10 liter met een begindruk van 180 bar,
een einddruk van 60 bar en een luchtverbruik van een duiker van
25 liter/minuut geldt voor de maximale duiktijd de volgende formule:
1200
T
2,5d 25
Deze functie is dalend.
4p 4 Onderzoek met behulp van de afgeleide van T of de maximaal toegestane
duiktijd in deze situatie toenemend of afnemend daalt bij grotere
duikdiepte.
VW-1024-a-23-1-o lees verder ►►►
2023
tijdvak 1
donderdag 11 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
VW-1024-a-23-1-o
, OVERZICHT FORMULES
Differentiëren
naam van de regel functie afgeleide
somregel s ( x) f ( x) g ( x) s' ( x) f ' ( x) g' ( x)
verschilregel v( x) f ( x) g ( x) v' ( x) f ' ( x) g' ( x)
productregel p ( x) f ( x) g ( x) p' ( x) f ' ( x) g ( x) f ( x) g' ( x)
f ( x) f ' ( x) g ( x) f ( x) g' ( x)
quotiëntregel q( x) q' ( x)
g ( x) ( g ( x))2
k' ( x) f ' ( g ( x)) g' ( x) of
kettingregel k ( x ) f ( g ( x )) dk df dg
dx dg dx
Logaritmen
regel voorwaarde
g
log a g log b g log ab g > 0, g 1, a > 0, b > 0
a
g
log a g log b g log g > 0, g 1, a > 0, b > 0
b
g
log a p p g log a g > 0, g 1, a > 0
p
log a
g
log a g > 0, g 1, a > 0, p > 0, p 1
p
log g
VW-1024-a-23-1-o lees verder ►►►
, Duiken
Karima volgt een duikcursus voor beginners. In het theorieboekje wordt
uitgelegd dat er onder water een grotere druk heerst dan boven water.
Aan de oppervlakte is de druk 1 bar. Omdat een duiker op grotere diepte
lucht inademt onder een hogere druk verbruikt hij zijn luchtvoorraad
sneller en is de maximale duiktijd korter.
Door het gewicht van het water neemt de druk onder water lineair toe met
de diepte: zie de onderstaande tabel.
tabel
diepte druk
0m 1 bar
10 m 2 bar
20 m 3 bar
30 m 4 bar
40 m 5 bar
Een duiker neemt samengeperste lucht mee in een duikfles om onder
water te kunnen ademen. Het is van levensbelang om een duik goed te
plannen, zodat de duiker nooit zonder lucht komt te zitten. De maximale
duiktijd op grond van de beschikbare luchtvoorraad kan volgens het
theorieboekje van Karima berekend worden met de volgende formule1):
V (b e)
T
q p
Hierin is T de maximale duiktijd op een vaste diepte in minuten, V de
inhoud van de duikfles in liters, zijn b en e de druk in de fles in bar aan het
begin respectievelijk aan het eind van de duik, is q het luchtverbruik van
de duiker in liter/minuut en p de druk op de duikdiepte.
Karima is van plan een duik op een diepte van 10 meter uit te voeren. Ze
heeft een duikfles met een inhoud van 14 liter die gevuld is met lucht met
een druk van 200 bar. Karima weet in eerste instantie haar luchtverbruik
niet en maakt gebruik van het gegeven dat het luchtverbruik van een met
haar vergelijkbare duiker 18 liter/minuut is. Aan het einde van de duik wil
ze als reserve nog minstens 50 bar druk in haar fles hebben.
3p 1 Bereken met deze gegevens hoeveel minuten haar duik maximaal mag
duren. Geef je antwoord in hele minuten.
noot 1 Er zijn ook formules waarbij rekening gehouden wordt met de tijdsduur van de duik en
de druk tijdens het dalen en stijgen, maar in deze opgave laten we dat buiten
beschouwing.
VW-1024-a-23-1-o lees verder ►►►
, In bovenstaande berekening is voor het luchtverbruik van Karima een
waarde van een met haar vergelijkbare duiker gebruikt. Voor een
nauwkeuriger berekening wil zij haar individuele luchtverbruik berekenen
op basis van gegevens van een vorige duik. Eerder heeft Karima een duik
gemaakt met een duikdiepte van 15 meter. Ze begon met een volle
duikfles van 14 liter met 200 bar druk. Aan het einde van haar duik, na
49 minuten, had ze nog 63 bar druk in haar duikfles.
4p 2 Bereken haar luchtverbruik in liter per minuut tijdens die duik. Geef je
antwoord in één decimaal.
Om sneller de maximale duiktijd te berekenen, is het handig om in plaats
van de druk p op de duikdiepte direct de duikdiepte d in meter in de
formule in te kunnen vullen. Hiervoor moet de formule aangepast worden.
3p 3 Stel met behulp van de tabel een dergelijke formule voor T op.
Voor een situatie met een fles van 10 liter met een begindruk van 180 bar,
een einddruk van 60 bar en een luchtverbruik van een duiker van
25 liter/minuut geldt voor de maximale duiktijd de volgende formule:
1200
T
2,5d 25
Deze functie is dalend.
4p 4 Onderzoek met behulp van de afgeleide van T of de maximaal toegestane
duiktijd in deze situatie toenemend of afnemend daalt bij grotere
duikdiepte.
VW-1024-a-23-1-o lees verder ►►►
