Ejercicios pares por método de discos

METODO DE DISCO
b

∫ π [f ( x )]
2
dx → Alrededor del eje x
a

b

∫ π [f ( y )]
2
dy → Alrededor del eje y
a




Solido




Remp l azamos la funcion y resolvemos


[ ]
2 2

∫ π 32y dy
0




[ ]
2 2
9y
π∫ dy
0 4
2
9π
∫
4 0
2
y dy

Integramos y evaluamos


( )|
2
9 π y3
4 3 0




( )
3 3
9π 2 0
−
4 3 3

, ()
9π 8
4 3
=6 π u 3


Solido




Remp l azamos la funcion y resolvemos
π
2

∫ π [ sen ( x ) cos ( x ) ] dx
2

0

π
2

π ∫ [ sin ( x)cos (x ) ] dx
2 2

0

Integramos y luego remplazamos

∫ sin 2 ( x)cos2 ( x )dx
∫ [ 2 ][
1−cos ( 2 x ) 1+ cos ( 2 x )
2
dx ]
1
4∫
[ 1−cos ( 2 x ) ][ 1+cos ( 2 x ) ] dx
1
4
∫ [ 1 −cos (2 x ) ] dx
2 2




1
4
∫ [ 1−cos 2 (2 x )] dx
1 1
4
∫ dx− ∫ cos (2 x )dx
4
2




1
4
∫ 1
dx− ∫
4
1+cos ( 4 x )
2 [dx ]
1 1
4
∫ dx− 8 ∫ 1+cos ( 4 x ) dx

, 1 1 1
4
∫ dx− ∫ dx− ∫ cos ( 4 x ) dx
8 8
1
4
1
x− x−
8
1 1
8 4 (
sen ( 4 x ) + C )
1 1
x− sen ( 4 x ) +C
8 32
Remplazamos y evaluamos
π
2

π ∫ [ sin ( x)cos (x ) ] dx
2 2

0




)|
π
1
( 1
π x− sen ( 4 x )
8 32
2

0



π
(()
1 π
8 2
1
− sen 4
32
π
2
1
( ( )) (
1
− ( 0 ) − sen ( 4 ( 0 ) )
8 32 ))
π ( 16π − 321 sen (2 π )−0)
( )
2
π π
π −0 = u 3
16 16




Solido