Investigar acerca de la optimización de varias variables con una restricción de igualdad.
2.3. ¿Cómo se identifican los puntos Máximos Mínimos en funciones de varias variables?
Uno de los puntos relevantes a tratar en el tema de optimización multivariable con una
restricción de igualdad son los extremos relativos. Los cuales presentan las siguientes
condiciones:
● Entonces se dice que una función f (x, y) tiene un máximo relativo en el punto P (a, b) si,
para todos los puntos (x, y) en el plano que están lo suficientemente cerca de (a, b), se
tiene:
f (a, b) ≥ f (x, y)
(Haeussler, E. y Paul, R., 1987, p. 769)
● Entonces se dice que una función f (x, y) tiene un mínimo relativo en el punto Q (a, b) si,
para todos los puntos (x, y) en el plano que están lo suficientemente cerca de (a, b), se
tiene:
f (a, b) ≤ f (x, y)
(Haeussler, E. y Paul, R., 1987, p. 769)
2.3.1 Los puntos Máximo y Mínimos vistos de manera geométrica
En cuanto en términos geométricos existe un máximo relativo de f (x, y) en punto
P (a, b) cuando la superficie z= f (x, y) tiene una cima en el punto (a, b, f (a, b)), esto es,
si (a, b, f (a, b)) está al menos tan alto como cualquier punto cercano de la superficie.
(Hoffmann, L. D. 1983, p. 521)
, Por otra parte, se tiene un mínimo relativo de f (x, y) en el punto Q (c, d) si el
punto (c, d, f (c, d)) está en el fondo, de modo que (c, d, f (c, d)) está al menos tan bajo
como cualquier punto cercano de la superficie. (Hoffmann, L. D. 1983, p. 521)
Ilustración 1
Extremos relativos de la función f (x, y).
Nota. El grafico representa los máximos y mínimos de una función de dos variables. Tomado de Máximos
y mínimos de una función de dos variables (p.2) por U. D. de Matemáticas de la ETSITGC.
2.3.2 Prueba de la segunda derivada para funciones de dos variables
Suponga que z = f (x, y) tiene derivadas parciales continuas f xx, f yy y f xy en todo
punto (x, y) cercano al punto crítico (a, b). Sea D la función definida por:
D (x, y) = f xx (x, y) f yy (x, y) − (f xy (x, y))2
2.3. ¿Cómo se identifican los puntos Máximos Mínimos en funciones de varias variables?
Uno de los puntos relevantes a tratar en el tema de optimización multivariable con una
restricción de igualdad son los extremos relativos. Los cuales presentan las siguientes
condiciones:
● Entonces se dice que una función f (x, y) tiene un máximo relativo en el punto P (a, b) si,
para todos los puntos (x, y) en el plano que están lo suficientemente cerca de (a, b), se
tiene:
f (a, b) ≥ f (x, y)
(Haeussler, E. y Paul, R., 1987, p. 769)
● Entonces se dice que una función f (x, y) tiene un mínimo relativo en el punto Q (a, b) si,
para todos los puntos (x, y) en el plano que están lo suficientemente cerca de (a, b), se
tiene:
f (a, b) ≤ f (x, y)
(Haeussler, E. y Paul, R., 1987, p. 769)
2.3.1 Los puntos Máximo y Mínimos vistos de manera geométrica
En cuanto en términos geométricos existe un máximo relativo de f (x, y) en punto
P (a, b) cuando la superficie z= f (x, y) tiene una cima en el punto (a, b, f (a, b)), esto es,
si (a, b, f (a, b)) está al menos tan alto como cualquier punto cercano de la superficie.
(Hoffmann, L. D. 1983, p. 521)
, Por otra parte, se tiene un mínimo relativo de f (x, y) en el punto Q (c, d) si el
punto (c, d, f (c, d)) está en el fondo, de modo que (c, d, f (c, d)) está al menos tan bajo
como cualquier punto cercano de la superficie. (Hoffmann, L. D. 1983, p. 521)
Ilustración 1
Extremos relativos de la función f (x, y).
Nota. El grafico representa los máximos y mínimos de una función de dos variables. Tomado de Máximos
y mínimos de una función de dos variables (p.2) por U. D. de Matemáticas de la ETSITGC.
2.3.2 Prueba de la segunda derivada para funciones de dos variables
Suponga que z = f (x, y) tiene derivadas parciales continuas f xx, f yy y f xy en todo
punto (x, y) cercano al punto crítico (a, b). Sea D la función definida por:
D (x, y) = f xx (x, y) f yy (x, y) − (f xy (x, y))2
